Morfismos de las variedades (cuasi) proyectivas

Question

Esta es otra pregunta de "ayuda con los deberes", que es de interés pedagógico para los matemáticos que trabajan.

Así que estoy tomando una clase de introducción a la geometría algebraica, y una cosa con la que he tenido algunos problemas es buscar lo que debería ser un morfismo de variedades proyectivas o cuasi-proyectivas. Conozco al menos una definición de memoria, que es la de Hartshorne, que es la que se refiere a la retirada local de las funciones regulares a las funciones regulares.

El problema es que no tengo la superpotencia Grothendieckiana de ser capaz de captar estas ideas abstractas sin jugar con algunos ejemplos concretos. Y la definición de Hartshorne no es muy propicia para comprobar en la práctica si un mapa dado es realmente un morfismo. Así que mi pregunta tiene, supongo, tres partes:

1. ¿Hay una definición más concreta de un morfismo de variedades proyectivas/cuasiproyectoras que pueda utilizar en la práctica para comprobar si algo es un morfismo?

2. ¿Cuáles son algunos de los ejemplos motivadores de morfismos entre variedades, que dan una idea de lo que deberían ser? ¿Cuál es un ejemplo de algo que no es un morfismo, que le da a uno un sentido de lo que es demasiado pedir?

3. De manera más abstracta, ¿existe una explicación a gran escala que haga "intuitivamente obvia" la definición de morfismo, como es el caso (por ejemplo) de los grupos, o incluso de las variedades afines?

Answer 1

La definición en Hartshorne es, sorprendentemente, la más natural.

Enfoquemos esto de la siguiente manera. Si meditas sobre lo que es la geometría algebraica de Grothendickian, te das cuenta de repente que allí cuenta una historia de algunos formularios que son desribido algebraicamente pero imaginado geométricamente . La primera de estas formas es A^1, línea afín. Tómese un tiempo para centrarse tanto en la técnicas (meditar sobre k[x] ) y contenido (un geométrico qi si lo desea) relacionado con la línea afín.

Ahora vamos al formulario llamado P^1 . Deberías ser capaz de imaginar P^1 - es simplemente una esfera, o un espacio de líneas en un plano o cualquier imagen que te guste. Ahora, ¿cuál es la técnica que describiría esto formalmente? Si lo piensas, se te ocurrirá la misma idea, es algo hecho de dos cosas más simples el A^1 s.

Bien, ahora pensemos en mapas entre estas formas. Por ejemplo, tomar un mapa arbitrario punto a punto. Es claramente algo equivocada no hermosa, porque he tirado toda la intuición que te pedí que crearas. Así que, concentrémonos mejor. Nuestra estructura es algebraica. Para un Affine Manifold, esto se ha formalizado como "los polinomios van a los polinomios". Para un colector liso se ha formalizado como "localmente, las funciones lisas van a las funciones lisas".

Ahora, si lo combinamos, obtenemos la definición de "localmente, los polinomios van a los polinomios" - y esta es la definición que es útil en la práctica. La Hartshorne simplemente la tiene escrita en un lenguaje abstracto que puede ser aplicado a cualquier esquema. Quien domine este ejemplo no tendrá miedo.

Answer 2

Con suerte, podré recorrer parte del camino hacia la dirección 2 y 3 sin dejarme llevar y volverme demasiado técnico/novato antipático, aunque tengo la sensación de que voy a fracasar en esta última parte.

La respuesta a la 3 es que sí, hay formas de hacer que la noción de morfismo de las variedades (o más generalmente de los esquemas) sea intuitivamente obvia (al menos para mí). Por ejemplo, uno puede ver una variedad como un cierto tipo de espacio localmente anillado. Un espacio localmente anillado consiste en un espacio topológico, en este caso el conjunto de puntos subyacentes de la variedad con la topología de Zariski, junto con una gavilla de anillos que es sólo una forma de llevar la cuenta de las funciones regulares en los diversos subconjuntos abiertos y cómo se pueden pegar entre sí (además de la parte local que se reduce al hecho de que las funciones que no se desvanecen en un punto son invertibles en un vecindario de ese punto). Desde este punto de vista, un morfismo de variedades es precisamente lo que tiene que ser: un mapa continuo de los espacios topológicos junto con un mapa de las poleas que te dice lo que sucede con las funciones regulares cuando se retiran. Esto es en realidad sólo una reafirmación de la definición que usted conoce, pero desde el punto de vista de la teoría de las gavillas sólo hay realmente una cosa que puede ser un morfismo de las gavillas. (Uno puede verlo "es lo que tiene que ser" a través de un functor de la interpretación de puntos o por pegar como Simon esboza en su respuesta)

En lo que respecta al segundo, me vienen a la mente dos ejemplos (aunque supongo que esto sigue siendo una especie de esquema teórico más que un enfoque clásico de tipo de variedad). El primero es que sobre una base afín cualquier esquema proyectivo viene de un anillo graduado a través de la construcción del Proyecto. Utilizando esto se pueden construir ciertos morfismos de variedades cuasiproyectoras a los proyectivos de morfismos graduados de anillos graduados en analogía con la forma en que se obtienen morfismos de variedades afines a partir de morfismos de anillos.

El segundo viene del adjetivo entre Spec y las secciones globales - es decir, para cualquier anillo A (conmutativo con unidad) y cualquier variedad (esto funciona para los esquemas en general) X hay bijecciones naturales
Hom _ (X, Spec A) ~ Hom _ {Anillos}(A, Γ(X,O_X))
Hay un caso especial de esto que creo que es informativo (al menos es algo útil de saber). Supongamos que estamos trabajando sobre un campo base fijo k que está algebraicamente cerrado (aunque esto también está bien en general) y consideremos mapas de X a Spec k[t] (la línea afín sobre k). Entonces esta bijección nos dice que dar tal mapa es lo mismo que dar una función regular globalmente definida en X (la sección global a la que enviamos la t indeterminada). Así que si uno conoce las funciones regulares definidas globalmente en X, entonces uno conoce todos los morfismos de la línea afín. A la inversa, se puede utilizar esta interpretación para mostrar que las únicas funciones regulares definidas globalmente en un esquema proyectivo son las constantes (aunque esto es probablemente exagerado).

¡Espero que esto sea al menos vagamente útil!

Answer 3

Dice que se siente cómodo con los morfismos de las variedades afines. Un mapa f: X --> Y entre variedades cuasi-proyectas es un morfismo si y sólo si podemos dar cubiertas afines abiertas U _i y V _i de X e Y tal que f toma U _i a V _i y f:U _i --> V _i es un morfismo.

Conceptualmente, pienso en un morfismo como cualquier cosa que pueda escribir en términos de polinomios sin usar límites o casos. El único caso que solía hacerme tropezar es el de la normalización. Por ejemplo, si Y es Spec k[x,y]/y^2-x^3 y X es Spec k[t], el mapa de Y --> X por (x,y) --> y/x NO es un morfismo, aunque tiene un límite bien definido en (0,0). Y escribiéndolo como (x,y) --> y/x si (x,y) \neq (0,0) y --> 0 si (x,y)==0 tampoco funciona; porque utiliza casos. Por otro lado, el mapa X --> Y por t --> (t^2, t^3) está perfectamente bien.

Por supuesto, este fue un ejemplo afín. Pero un morfismo general es sólo un mapa que es localmente un morfismo afín; así que es un mapa que puedo escribir localmente en términos de polinomios.

En el caso particular de las variedades proyectivas, si X \subset P^m y Y \subset P^n, y (f ₀ ,f ₁ , ..., f _n ) son polinomios homogéneos del mismo grado, sin un cero común en X, y de tal manera que estos polinomios llevan de X a Y, entonces estos polinomios definen un morfismo. Nótese que esto no es si y sólo si; este teorema es para anotar ejemplos de morfismos, no para definirlos. Creo que puede haber una manera de hacer esto si y sólo si, permitiéndole cambiar las incrustaciones proyectivas, pero no estoy seguro de los detalles.

Answer 4

Como usted implica que sabe, para las variedades afines un morfismo es sólo un mapa que proviene de un homomorfismo de anillo entre los anillos asociados. Es decir, hay una correspondencia entre los morfismos Spec(A) a Spec(B) y los homomorfismos de anillo B a A.

Una variedad general está cubierta por variedades afines, y un morfismo entre dos de ellas debe ser localmente un morfismo entre variedades afines. Es decir, definir un morfismo para V a W es elegir una cubierta abierta de V por afines y luego anotar los morfismos en cada conjunto abierto de su cubierta que aterricen en una subvariedad afín de W de manera que coincidan en todos los intereses de su cubierta. Puedes pensar en esto como una continuación analítica en un análisis complejo, o definir un mapa entre múltiples definiéndolo en gráficos.

Answer 5

Creo que una buena analogía aquí es la de las funciones diferenciables.

El morfismo de una variedad cuasi-proyectiva a la línea afín es sólo las funciones regulares, es decir, un montón de funciones racionales compatibles. Compare esto con las funciones diferenciables de una variedad lisa M a R.

A continuación, el morfismo de una variedad cuasi-proyectiva al espacio afín $ \mathbb {A}^n$ es sólo una de las funciones regulares. Compare esto con las funciones diferenciables de un colector liso a R^n. Entonces sabremos cómo definir el morfismo de una variedad cuasiproyectiva a una variedad afín: simplemente incrustar la variedad afín en A^n, y usar la definición anterior. Compara esto con las funciones diferenciables de un colector liso a un submanifold de R^n.

Finalmente, el morfismo $f$ de una variedad cuasiproyectiva a otra variedad puede definirse eligiendo una cubierta afín abierta $U_i$ y requieren todos los mapas $f^{-1}(U_i) \rightarrow U_i$ son morfismos. Compare esto con las funciones diferenciables de un colector liso a otro.

Esta definición, aunque más concreta, no es buena cuando se trata de esquemas, porque depende mucho de la incrustación. Así que en general, considerar un morfismo como un mapa de la gavilla es mucho mejor. Una vez más, esto es paralelo a la situación de los múltiples. Puedes considerar un múltiple liso como un espacio localmente anillado sobre R, que es localmente isomórfico a la gavilla de funciones lisas en algún subconjunto abierto de R^n. Entonces la noción habitual de mapas diferenciables entre colectores correspondería a nuestra situación.