Volumen del rectángulo compacto en $\mathbb{R}^d$

Question

Muy a menudo me resulta difícil demostrar lo que parece obvio. Este es el problema:

Sea $R\subseteq \mathbb{R}^d$ un rectángulo compacto y $R_1,\ldots,R_n$ rectángulos abiertos tales que $R\subseteq R_1\cup\ldots\cup R_n$ . Entonces demuestre que $v(R) \le v(R_1)+\ldots + v(R_n)$

Ahora mi conjetura es, ya que $\cup R_i$ es abierto entonces podemos escribirlo como una unión de cubos no solapados y entonces tomamos volúmenes. Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Tome un rectángulo $Q$ que contiene los rectángulos $R_1, \ldots, R_n$ . Utilizando los puntos finales de los intervalos componentes de cada rectángulo $R_k$ es decir $a_{k,1}, \ldots a_{k,d}$ y $b_{k,1}, \ldots b_{k,d}$ donde $R_k = (a_{k,1},b_{k,1}) \times \ldots \times (a_{k,d},b_{k,d})$ formulario partición $P$ de $Q$ con subrectángulos $Q_1, \ldots Q_m$ .

Por construcción, cada uno de los rectángulos (cerrados) $\overline{R_k}$ es la unión de algunos de los rectángulos $Q_1, \ldots, Q_m$ y también tenemos que el rectángulo compacto original $R$ es la unión de algunos de los subrectángulos de partición

$$R = \bigcup_{Q \subset R}Q$$

Le sugiero que haga un dibujo para entenderlo.

Dado que cada subrectángulo de partición $Q$ está contenido en uno de los rectángulos de cobertura cerrados $\overline{R_1}, \ldots, \overline{R_n}$ se deduce que

$$\sum_{Q \subset R}v(Q) \leqslant \sum_{k=1}^n\sum_{Q' \subset \overline{R_k}}v(Q'),$$

ya que la suma en el lado derecho puede contar dos veces.

Dado que los subrectángulos de partición no se solapan, se deduce que

$$v(R) = \sum_{Q \subset R} v(Q) \leqslant \sum_{k=1}^n\sum_{Q' \subset \overline{R_k}}v(Q') = \sum_{k=1}^n v(\overline{R_k}) = \sum_{k=1}^n v(R_k)$$