Límites en la transformación de Laplace2

Question

Me dan $f(t) = t^2e^{-2t}$ para la transformada de Laplace. He utilizado IBP dos veces dando como resultado

$$[t^2e^{-t(s+2)}-\frac{1}{2}te^{-t(s+2)}-\frac{1}{(s+2)}e^{-t(s+2)}]_0^{\infty}$$

En primer lugar, ¿se equivoca mi PNI? Segundo, cómo tomo el límite (estoy revisando los límites ahora).

Me enseñaron que su $b-a$ para los límites. Dado que $b=\infty$ ¿irían todos hasta el infinito?

Pero si conecto $0$ para $t$ entonces tenemos $\frac{1}{s+2}$ ¡que está mal! Entonces, ¿qué hago?

Answer 1

En cuanto a los métodos clásicos: \begin{align} \mathcal{L}\{t^{2} \, e^{-a t}\} &= \int_{0}^{\infty} t^{2} \, e^{-(a+s) t} \, dt \\ &= \left[- t^{2} \, \frac{e^{-(a+s) t}}{s+a} \right]_{0}^{\infty} + \frac{2}{s+a} \, \int_{0}^{\infty} t \, e^{-(a+s) t} \, dt \\ &= (-1)\left[t^{2} \, \frac{e^{-(a+s) t}}{s+a} + \frac{2 \, t \, e^{-(a+s) t}}{(s+a)^2} \right]_{0}^{\infty} + \frac{2}{(s+a)^2} \, \int_{0}^{\infty} e^{-(a+s) t} \, dt \\ &= (-1)\left[t^{2} \, \frac{e^{-(a+s) t}}{s+a} + \frac{2 \, t \, e^{-(a+s) t}}{(s+a)^2} + \frac{2 \, e^{-(a+s) t}}{(s+a)^3} \right]_{0}^{\infty} \\ &= \frac{2}{(s+a)^3} \end{align}

Un método más rápido: \begin{align} \mathcal{L}\{t^{2} \, e^{-a t}\} &= \partial_{s}^{2} \, \int_{0}^{\infty} e^{-(a+s) t} \, dt = \partial_{s}^{2} \, \left(\frac{1}{s+a} \right) \\ &= \frac{2}{(s+a)^{3}} \end{align}

Propiedad de la transformada de Laplace: $$\mathcal{L}\{t^{n} \, e^{-a t} \, f(t), s \} = (-1)^{n} \, \partial_{s}^{n} \, \mathcal{L}\{f(t), s+a\}.$$