Ejemplo de función no Fourier Invertible en $L^1$

Question

Es bien sabido que, si $1 < p \le 2$ entonces, para cada $f \in L^p$ ,

$$\int_{[-R,R]^n} e^{-2\pi i x \cdot y} \hat{f}(y) dy \rightarrow f(x)$$

En $R \rightarrow \infty$ en el $L^p$ sentido. Esto es un corolario, por ejemplo, de la $L^p$ Teoría de la transformada de Hilbert.

He escarbado en internet, desgraciadamente en vano, en busca de un contraejemplo para el $p=1$ caso. Un compañero de mi instituto local me dijo que este contraejemplo se debía a Kolmogorov, pero sigo sin encontrarlo en ninguna parte, al menos no el ejemplo que quiero.

¿Alguna idea de cómo puedo construir una función de este tipo, o incluso buenas referencias para una construcción de este tipo?

Gracias de antemano.

EDITAR: A tener en cuenta que soy no hablando de las series de Fourier. No es un problema sobre funciones periódicas, es sobre funciones definidas globalmente en $L^1$ . El contraejemplo para las series de Fourier es bien conocido y se debe a Kolmogorov.

Answer 1

Bueno, creo que esta es una solución al problema:

1 - Si hubiera convergencia, entonces, por el Principio de Acotamiento Uniforme, como $\sup_R \|S_R f \|_1 < \infty$ entonces los operadores $S_R$ debe estar limitada en $L^1$ . Puede demostrarse que, a la inversa, basta con que se cumpla esta última condición para que se mantenga la convergencia.

2 - Como multiplicador de $S_R$ es una dilatación del multiplicador para $S_1$ entonces la norma $\|S_R\|_{1 \rightarrow 1} = \|S_1\|_{1 \rightarrow 1}$ .

3 - Para que no se cumpla, entonces sólo debería bastar con comprobar que existe $f$ en $L^1$ tal que $S_1 f \not \in L^1$ .

4 - Como $f \in L^1 \Rightarrow \hat{f} \in C(\mathbb{R}^n) \rightarrow \chi_{C_1} \hat{f} \in L^1$ donde $C_1 = [-1,1]^n$ es el cubo unitario. Esto implica inmediatamente que $S_1 f = \mathcal{F}^{-1}(\chi_{C_1} \hat{f})$ es continua.

5 - Desde $S_1 f$ es, por suposición, integrable, debemos tener también que $\chi_{C_1} \hat{f}$ debe ser continua. Pero, si tomamos $f = \frac{1}{(2\lambda)^n}\chi_{[-\lambda,\lambda]^n}$ vemos que la transformada de Fourier de $f$ es igual a 1 en cero. Por lo tanto, eligiendo un $\lambda$ podemos suponer que $\hat{f}$ es como mínimo $\frac{1}{2}$ en $C_1$ . Entonces, $\chi_{C_1} \hat{f}$ no puede ser nunca una función continua, contradiciendo lo que hemos supuesto.