Probabilidad condicional con variables aleatorias binomiales

Question

En este ejemplo, ¿por qué tenemos que convertir $P\{ X_1 = k, X_1 + X_2 = m\}$ en $P\{X_1 = k, X_2 = m-k\}$ ? Está en la primera y segunda línea de las ecuaciones.

Answer 1

Porque ( $X_1=k$ y $X_1+X_2=m$ ) es equivalente a ( $X_1=k$ y $X_2=m-k$ ). Entonces podemos utilizar la independencia de $X_1$ y $X_2$ para dividirlo en un producto de dos probabilidades.

$$P(X_1=k,X_2=m-k)=P(X_1=k)P(X_2=m-k)$$

Si no lo escribimos así, $X_1$ y $X_1+X_2$ son dependientes, y no podemos escribirlo como un producto.

$$P(X_1=k,X_1+X_2=m)\ne P(X_1=k)P(X_1+X_2=m)$$