Asignación de 20 manzanas a 3 cestas

Question

He elaborado un resumen de las posibles formas de asignar 20 manzanas a 3 cestas, pero me pregunto si mis soluciones son correctas. Sé que un par pueden estar equivocadas ya que no he utilizado el principio de inclusión exclusión:

1. Manzanas indistinguibles:

$$x_1 + x_2 + x_3 = 20 \rightarrow \dbinom{22}{20}$$

2. Manzanas distinguibles:

$$3^{20}$$

3. Cesta $1 (B_1)$ $\leq$ 5:

• Manzanas indistinguibles:

$$x1' + x2' + x3' = 14 => \dbinom{22}{20} - \dbinom{16}{14}$$ Pregunta aquí: supongamos B1 <= 1, B2 <= 1, B3 <= 1 También tengo: $x1' + x2' + x3' = 14$ => $\dbinom{22}{20} - \dbinom{16}{14}$ ¿Igual que sólo B1 <= 5? ¿Pero no debería ser $\dbinom{20}{3}$ desde el punto de vista de la cesta O $3*2*1=3!$ ¿desde el punto de vista de las manzanas? Pensé que esto se reducirá en el teorema binomial n elegir k, desde desordenada con reemplazo, pero restringido a menos que o igual a 1. He intentado con el ejemplo de elegir 3 objetos de 5 objetos utilizando x1 + x2 + x3 + x4 +x5 = 3 y aplicar la restricción de <= 1, tengo negativo en RHS. Y esto ciertamente no es igual a $\dbinom{5}{3}$ ¡?!

• Manzanas distinguibles:

  $$2^{20} + \dbinom{20}{1}2^{19} + \dbinom{20}{2}2^{18} + \dbinom{20}{3}2^{17} + \dbinom{20}{4}2^{16} + \dbinom{20}{5}2^{15}$$

4. Cesta 1 (B1) >= 5:

• Manzanas indistinguibles:

  $$x1' + x2' + x3' = 15 => \dbinom{17}{15}$$

• Manzanas distinguibles:

  $$\dbinom{20}{5}3^{15}$$

5. B1 <= 5, B2 <= 3:

• Manzanas indistinguibles:

  $$x1' + x2' + x3' = 10 => \dbinom{22}{20} - \dbinom{12}{10}$$

• Manzanas distinguibles:

  El producto cartesiano de conjuntos: |{0,1,2,3,4,5} $\times$ {0,1,2,3}| = 24

  $$\dbinom{20}{0}\dbinom{20}{0} + \dbinom{20}{0}\dbinom{20}{1} + \dbinom{20}{0} \dbinom{20}{2} ... + \dbinom{20}{1} \dbinom{19}{0} + \dbinom{20}{1}\dbinom{19}{1} + \dbinom{20}{1}\dbinom{19}{2} + ...$$ a las 24 vías

6. B1 >= 5, B2 >= 3:

• Manzanas indistinguibles:

  $$x1' + x2' + x3' = 12 => \dbinom{14}{12} $$

• Manzanas distinguibles:

$$\dbinom{20}{5}\dbinom{15}{3} *3^{12}$$

Tengo la esperanza de manzanas distinguibles caso de 4 y 6, no necesito hacer el cálculo para cada permutación, y acaba de hacer un solo cálculo como el anterior. ¿Qué pasa cuando tanto las manzanas como las cestas se convierten en distinguibles? y la cesta se convierte en indistinguible y la manzana distinguible?

Answer 1

Según mi primer vistazo , usted tiene problema con manzana distinguible a cestas distinguibles en cuestión $4$ y $6$ .

Las funciones generadoras exponenciales son la forma más adecuada de introducir objetos distinguibles en cajas distinguibles, ya que evitan el recuento excesivo.

Revisemos primero la cuarta pregunta , vemos que estas haciendo un recuento excesivo cuando las manzanas son distinguibles. Si la primera cesta tiene más o igual a $5$ entonces la función generadora exponencial debe ser $$\frac{x^5}{5!} + \frac{x^6}{6!} + \frac{x^7}{7!}+...$$

No hay ninguna restricción para las demás , por lo que sus funciones generadoras exponenciales deben ser $$\bigg(1+\frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}+...\bigg)$$

Como resultado , deberíamos el coeficiente de $\frac{x^{20}}{20!}$ o hallar el coeficiente de $x^{20}$ y multiplicarlo por $20!$ en la expansión de $$\bigg(\frac{x^5}{5!} + \frac{x^6}{6!} + \frac{x^7}{7!}+...\bigg) \times \bigg(1+\frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}+...\bigg)^2 $$

Cuando llegamos a la sexta pregunta , las funciones generadoras expoeneciales :

Para la primera cesta : $$\bigg(\frac{x^5}{5!} + \frac{x^6}{6!} + \frac{x^7}{7!}+...\bigg)$$

Para la segunda cesta : $$\bigg(\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+...\bigg)$$

Para la tercera cesta : $$\bigg(1+\frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}+...\bigg)$$

Como resultado , deberíamos el coeficiente de $\frac{x^{20}}{20!}$ o hallar el coeficiente de $x^{20}$ y multiplicarlo por $20!$ en la expansión de $$\bigg(\frac{x^5}{5!} + \frac{x^6}{6!} + \frac{x^7}{7!}+...\bigg) \times \bigg(\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+...\bigg) \times \bigg(1+\frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}+...\bigg) $$