Una nota más general: los módulos sobre anillos son una generalización natural de los espacios vectoriales sobre campos. En particular, un $R$ -módulo con $R$ un campo no es más que un $R$ -espacio vectorial. Así que uno puede llamar a los espacios vectoriales módulos, pero creo que esto es más confuso que todo lo demás.
Lo que se construye aquí es el llamado módulo gratuito en $M$ . Esta es la estructura modular más general que se puede construir dado un conjunto $M$ y algún anillo base $R$ . Formalmente, esto puede introducirse por medio de propiedades universales, pero no creo que esto sea beneficioso en este momento. Intuitivamente, la construcción es clara: tenemos que cerrar de alguna manera nuestro conjunto bajo combinaciones lineales, es decir, permitir la suma de sus elementos y la multiplicación escalar por elementos de nuestro anillo de tierra (una construcción totalmente análoga existe para los espacios vectoriales, dado un campo de tierra que da la espacio vectorial libre en $M$ ) como nos dictan los axiomas del módulo.
Para profundizar en esto (ya que he visto tu pregunta en los comentarios): un módulo $M$ sobre un anillo $R$ es un grupo abeliano $M$ con una multiplicación escalar externa $\cdot\colon R\times M\to M$ que satisfaga algún axioma de compatibilidad (es decir, que haga que todo se comporte bien). Resulta que basta con esperar que cada combinación lineal (finita) de elementos de $M$ con coeficientes en $R$ estar en ella.
De hecho, la combinación lineal trivial es nuestro elemento neutro en $M$ y tenemos $(-1)\cdot m=-m$ como inverso aditivo. Así que esto nos dará un grupo abeliano. Los axiomas de compatibilidad sólo se refieren a la multiplicación escalar y su interacción con la suma. La situación es muy parecida a la de los espacios vectoriales y los axiomas se cumplen todos a la vez si consideramos el conjunto de combinaciones lineales (finitas).
En el caso dado tenemos realmente una base (algo que los módulos no tienen en general y por lo que su definición general es diferente; los módulos con base se denominan libres) dada por la base $|m_i\rangle$ lo que simplifica considerablemente el debate. De hecho, sólo es importante que $M$ es finito en su caso, lo que lo hace todo muy fácil.
El mapa $m_i\mapsto|m_i\rangle$ es una "vectorización" de los elementos de $M$ distinguir entre su papel como elementos de $M$ y como vectores base para $\mathbb R\mathbf M$ . La definición del Módulo de $M$ entonces hace exactamente lo que he mencionado anteriormente: incluir todas las combinaciones lineales en el $|m_i\rangle$ manualmente. Puede comprobar que esta construcción da de hecho un $\mathbb R$ -(es decir, a $\mathbb R$ -módulo pero $\mathbb R$ resulta ser un campo; así que aquí está su conexión con la noción general de módulos).
