Una forma más elegante de $n>\delta\to\epsilon>|s_n-L|$ de $\inf\{|s_n|\}+\epsilon >|s_n| \geq \inf\{|s_n|\}$ y $|s_n| > |s_{n + 1}|$

Question

Esto está cubierto por el teorema de que las secuencias monótonas acotadas convergen, pero para el ejercicio estoy tratando de ver si se puede demostrar para un tipo específico de secuencia monótona sin utilizar este teorema y sin separar los casos positivos y negativos.

Tengo una secuencia monótona $\{s_n\}$ con un mínimo y un supremo y con $\forall n: |s_n| > |s_{n+1}|$ . Notamos inmediatamente que la secuencia no cruza $0$ sino que tiende hacia ella, para que pueda ser delimitada antes de tocar $0$ y que como $\epsilon + \inf\{|s_n|\}$ no es un mínimo para $\{|s_n|\}$ existe un $|s_\delta|$ s.t. $\epsilon + \inf\{|s_n|\} > |s_\delta| \geq \inf\{|s_n|\}$ . Aunque hacer los casos positivo y negativo individualmente es pan comido (nota: en el caso negativo usamos el supremum), ¿hay alguna forma de completar el argumento de que esta sucesión converge, sin usar el teorema de que una sucesión monótona acotada converge, y sin hacer los casos positivo y negativo individualmente?

Answer 1

Sugerencia: Permítanme tomar el símbolo $N$ en lugar de $\delta$ y primero escribe eso:

$\inf|a_n|\le |a_N|\lt \inf|a_n|+\epsilon $

Sea $\inf|a_n|=l$ . Obsérvese ahora que para cualquier $n\gt N$ tendremos $|a_n|\lt |a_N| $ de donde

$l\le |a_n| \lt |a_N|\lt l+\epsilon\implies 0\le |a_n|-l\lt \epsilon$

y, por tanto, por definición de límite, $|a_n|\to l$ .

¿Puedes seguir desde aquí?

Answer 2

Aquí está la prueba usando los comentarios de Koro:

Sea $\{a_n \}$ sea una sucesión monótona con $|a_n| > |a_{n+1}|$ con un mínimo y un sumo. Dado que $\inf|a_n| + \epsilon$ no es un límite inferior de $|a_n|$ existe un $N$ s.t. $n > N$ . $$\inf\{|a_n|\} + \epsilon > |a_N| \geq \inf \{|a_n|\}$$ $$\epsilon > |a_n| - \inf \{|a_n|\} \geq 0$$ Sea $L = \inf \{|a_n|\}$ . Entonces: $$\epsilon > | |a_n| - L | = | -|a_n| - (-L)|$$ $\therefore \exists \mathcal{L} = (L \lor -L)$ s.t. $a_n \rightarrow \mathcal{L}$