Si la clase de Chern total de un haz vectorial es factorial, ¿tiene un subfondo?

Question

Motivación: $T_{\mathbb P^2}$ no es una extensión de los haces de líneas

He aquí un truco para demostrar que el haz tangente $T$ de $\mathbb P^2$ no es una extensión de los haces de líneas. Si lo fuera, tendríamos una secuencia exacta corta $$\def\O{\mathcal O} 0\to \O(a)\to T\to \O(b)\to 0 $$ para algunos números enteros $a$ y $b$ . Entonces podemos calcular la clase de Chern total $$\begin{align*} c(T)& =c(\O(a))\cdot c(\O(b)) \\ &= (1+aH)(1+bH) \\ &= 1+(a+b)H+abH^2, \end{align*}$$

donde $H=c_1(\O(1))$ es la clase de un hiperplano.

Por otro lado, tenemos la secuencia de Euler $$ 0\to \O\to \O(1)^3\to T\to 0 $$ que nos dice que $$\begin{align*} c(T)&=c(T)\cdot c(\O)=c(\O(1)^3)\\ &=c(\O(1))^3= 1+3H+3H^2. \end{align*}$$

Ahora observa que no existen enteros $a$ y $b$ para que $a+b=ab=3$ Así que $T$ no puede ser una extensión de los haces de líneas.

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La pregunta

De forma más general, siempre que tengamos una extensión de haces vectoriales $0\to L\to E\to M\to 0$ tenemos $c(E)=c(L)\cdot c(M)$ . Así que para demostrar que $E$ no tiene subconjuntos (o equivalentemente, no tiene conjuntos cocientes), basta con demostrar que $c(E)$ no influye. La cuestión es si lo contrario es cierto:

Supongamos que $E$ es un rango $r$ haz vectorial sobre un esquema (o colector) (liso cuasi proyectivo) $X$ para que $c(E)=c(L)c(M)$ para haces vectoriales $L$ y $M$ de rango $i$ y $r-i$ Respetuosamente. Debe $E$ tienen un subfondo o rango $i$ o $r-i$ ?

Observación 1: El enunciado es un poco extraño comparado con el que suena natural: "Si la clase de Chern total de un haz vectorial es factorial, ¿tiene un subfondo?". La cuestión es que conocer el rango de $E$ es muy importante. Hemos demostrado que $T_{\mathbb P^2}$ no tiene subfondos, pero $O(1)^3$ tiene la misma clase de Chern total y claramente tiene muchos sub-bundles.

Observación 2: ¿Alguno de los dos $L$ o $M$ tienen que ser un subfondo de $E$ ? ¡NO! Por ejemplo, en $\mathbb P^1$ tenemos que $$ c(\O(1)\oplus \O(-1)) = (1+H)(1-H)=1 = c(\O)c(\O) $$ pero $\O(1)\oplus \O(-1)$ no tiene un subfondo isomorfo a $\O$ (porque no tiene secciones no evanescentes).

Observación 3: ¿Cuál es la respuesta en el caso $X=\mathbb P^n$ ?

Answer 1

Si también se pregunta por el caso de haces vectoriales complejos topológicos sobre variedades, considere el caso $X=S^5$ . No existen rangos no triviales $1$ pero hay un rango no trivial $2$ y, por supuesto, su clase de Chern $1$ factores como $1\times 1$ .

Answer 2

La respuesta para los espacios proyectivos es negativa. Creo que el ejemplo más sencillo son los paquetes de 2 en $\mathbb{P}^3(\mathbb{C})$ . En ese caso, la condición de Schwarzenberger es que $c_1c_2$ debe ser par. Atiyah y Rees han demostrado que para cualquier par $(c_1,c_2)$ satisfaciendo esto hay haces vectoriales holomorfos $\xi$ con $c_1(\xi)=c_1,c_2(\xi)=c_2$ (véase Atiyah, Rees, Vector bundles on projective 3-space. Invent. Math. 35 (1976), 131-153.). El número de tales haces topológicamente distintos en 1 cuando $c_1$ es impar y 2 cuando $c_1$ es par. Así, por ejemplo, existe un haz de 2 topológicamente no divisible en $\mathbb{P}^3$ con clase de Chern total $(1+ka)(1-ka)$ donde $a=c_1(\mathcal{O}(1))$ .

La clasificación topológica de los 2-bundles en $\mathbb{P}^3$ y la existencia de una estructura holomorfa en ellos se demuestran también en Okonek, Schneider, Spindler, Vector bundles on complex projective spaces, capítulo 1, 6.3.