¿Qué ejemplos hay de teoremas que en su día fueron "válidos" y luego se convirtieron en "inválidos" al cambiar las definiciones estándar?

Question

Es decir, resultados establecidos mediante demostraciones correctas dentro de algún marco, pero la forma en que su autor o la comunidad matemática general de la época describiera estos resultados sería, en épocas posteriores, interpretada como constitutiva de una afirmación falsa, debido a las modas cambiantes en cuanto a la forma de formalizar de manera estándar algunos de los conceptos relevantes.

Imagino que este tipo de cosas ha sucedido a menudo (por ejemplo, con las cuentas cambiantes de "poliedros" a la Lakatos "Pruebas y refutaciones", o un abigarramiento de diferentes definiciones de "continuidad" antes de la normalización en la que usamos ahora), pero no tengo suficiente conocimiento de la historia para ser capaz de proporcionar ejemplos sólidos (por ejemplo, me parece plausible que Darboux haya considerado haber demostrado que toda derivada es continua, tomando la propiedad del valor intermedio como definitoria de la continuidad, pero no sé si esto es un relato exacto de lo que afirmó).

Answer 1

(Esto es básicamente una copia de mi respuesta https://mathoverflow.net/questions/35468#35644 )

Un buen ejemplo de un teorema que se consideraba "válido" pero que más tarde pasó a ser "inválido" es el siguiente:

Teorema (Cauchy) Sea $S_m(x) = \sum_{n=0}^m f_n(x)$ sean las sumas parciales de una serie en el intervalo $a \leq x \leq b$ . Si

1. $S_m(x)$ es continua para todo $m$
2. y $S_m(\xi)$ converge a $S(\xi)$ para todos los números $\xi$ en el intervalo

entonces la suma $S(x)$ también es continua. $\square$

Desde el punto de vista moderno (Weierstraß), este teorema es erróneo. Un contraejemplo bien conocido es la serie trigonométrica ("diente de sierra")

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin(kx)}k$$

que no es continua en $x=0$ .

Sin embargo no un contraejemplo al teorema de Cauchy como Cauchy entendía lo. Sus definiciones de continuidad y convergencia se basaban en infinitesimales y la serie viola la condición 2. La cuestión es que $\xi$ puede ser un infinitésimo.

En concreto $n=\mu$ infinitamente grande y $\xi = \omega := \frac1\mu$ infinitesimalmente pequeño. Entonces, la suma residual es

$$S(\omega) - S_{\mu-1}(\omega) = \sum_{k=\mu}^{\infty} \frac{\sin(k\omega)}k = \sum_{k=\mu}^{\infty} \frac{\sin(k\omega)}{k\omega}\omega \approx \int_{\omega\mu}^{\infty} \frac{\sin t}{t} \ dt = \int_1^{\infty} \frac{\sin t}{t} \ dt$$

Claramente, la integral es finita y no despreciable; por lo tanto, la serie no converge para $\xi=\omega\approx 0$ .

Dicho de otro modo, la condición 2 en el sentido de Cauchy es en realidad equivalente a la convergencia uniforme. (Creo)

He tomado este debate y este ejemplo del documento de Detlef Laugwitz "Valores definidos de sumas infinitas: Aspectos de los fundamentos del análisis infinitesimal hacia 1820" (en particular las páginas 211-212).

Answer 2

Aún no estoy seguro al 100% de entender lo que pide la pregunta, pero hoy se me ha ocurrido que un ejemplo podría ser la siguiente afirmación:

$(*)$ Si todo S es P, entonces algún S es P.

Hoy diríamos que $(*)$ no es válida, porque si S es vacuo entonces "todo S es P" es verdadero pero "algún S es P" es falso. Sin embargo, durante la mayor parte de la historia de la civilización occidental, $(*)$ se consideró válida. Esto suele explicarse diciendo que la afirmación "clásica" de que "todo S es P" significa realmente, en lenguaje moderno, "existe algún S y todo S es P". Este punto se trata en detalle en el artículo sobre La plaza tradicional de la oposición en la Stanford Encyclopedia of Philosophy, donde también se señala que si además traducimos "algún S no es P" al lenguaje moderno como "si existe algún S entonces algún S no es P" entonces podemos recuperar todo el cuadrado tradicional de la oposición.

Esto parece satisfacer la petición de Sridhar Ramesh de un ejemplo no de normas de rigor cambiantes, sino de "formalizaciones estándar cambiantes de conceptos preformales" (en este caso, los conceptos de "cada" y "algunos").

Answer 3

Un ejemplo más elegante es la prueba de Kazhdan de una conjetura de Langlands sobre la conjugación de variedades de Shimura. Apareció en el volumen de la conferencia de Budapest de los años setenta. Tal vez el carácter esquemático de la prueba hizo que su comprensión no fuera trivial. En el año 1972, cuando creo que se celebró realmente la conferencia de Budapest, no era en absoluto de rigor ajustarse a la terminología y el punto de vista de Grothendieck (et al.), en parte porque ese proyecto no se había completado en todos los aspectos que podrían ser convenientes. Además, mucha gente había crecido teniendo que "improvisar" un punto de vista intermedio sobre la geometría algebraica, especialmente las propiedades de racionalidad.

Así que, en resumen, tal vez esa prueba era correcta en un contexto determinado, se volvió incorrecta cuando la terminología adquirió un sentido ampliado con Grothendieck, pero luego volvió a ser correcta cuando se conocieron más cosas.

Creo que Michael Harris y algunos colaboradores podrían escribir algo sobre esta secuencia de acontecimientos, o utilizarla como ejemplo.