Eliminación del valor absoluto tras la integración

Question

Tengo esta ecuación diferencial en un ejercicio:

$$y' = \frac{y}{\sqrt{1-x^2}}$$

Lo resolví así:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$\frac{1}{y}dy = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$$

$$\int \frac{1}{y} \,dy = \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx$$

$$\ln \,\lvert\,y\,\lvert + C_1 = \arcsin\,x + C_2$$

$$\lvert\,y\,\lvert\,= {e}^{\arcsin\,x + C_3}$$

$$\lvert\,y\,\lvert\,=C{e}^{\arcsin\,x}$$

$$y=±C{e}^{\arcsin\,x}$$

Sin embargo, la solución dada en mi libro de texto es

$$y=C{e}^{\arcsin\,x}$$

¿Cómo eliminar el valor absoluto? ¿He hecho algo mal? Algunos de los otros ejercicios indica cuando $y > 0$ pero éste no tiene tal indicación. ¿Supongo que se puede deducir?

Answer 1

Desde $C$ es una constante arbitraria que puede tener un valor positivo o negativo, (por ejemplo $C=\pm 2$ ).

Answer 2

Lo entendí gracias a Emilio Novati pero la confusión viene de la diferencia entre mi constante y la de la respuesta dada. En $C$ procedente de mis pasos es positiva (ya que ${e}^{C_3}$ no puede ser negativa) pero puedo utilizar simplemente otra letra como $$K = ±C$$

Así que tengo

$$y=K{e}^{\arcsin\,x}$$