Hay una explícita de la incrustación de los diversos campos de la p-ádico números de $\mathbb{Q}_p$ a $\mathbb{C}$?

Question

Para cualquier campo de la p-ádico números de $\mathbb{Q}_p$, se puede construir el campo de $\mathbb{C}_p$, la métrica de la finalización de uno de sus algebraica de las terminaciones. Por el axioma de elección, podemos demostrar que esto sea isomorfo a las habituales en el campo de los números complejos $\mathbb{C}$. Por lo tanto, desde el $\mathbb{Q}_p$ incrusta en $\mathbb{C}_p$, debe haber una incrustación de $\mathbb{Q}_p$ a $\mathbb{C}$.

Hay alguna forma explícita de construir una incrustación de objetos, de modo que dado un arbitrario p-ádico número, se puede volver a escribir como un complejo número de precisión arbitraria?

Espero que esto arroja alguna luz sobre lo que la (algebraica, no topológicas) tensor de productos de cosas como $\mathbb{Q}_p \otimes_\mathbb{Q} \mathbb{Q}_q$ $\mathbb{R} \otimes_\mathbb{Q} \mathbb{Q}_p$ y así sucesivamente.

(El post anterior era mucho más largo, pero era confuso todo el mundo, así que dejé y escribí mi pregunta de una manera mucho más simple.)

Answer 1

Tenga en cuenta que cada una de estas isomorfismo de $\Bbb C_p\to\Bbb C$ es en realidad un $\Bbb Q$-automorphism de $\Bbb C$.

Es coherente que, sin el axioma de elección sólo hay dos automorfismos de a $\Bbb C$, la identidad y la conjugación. Obviamente si $\Bbb C_p$ $p$- ádico de campo, tales automorphism no es ninguna de las dos. Por lo tanto, su existencia se basa en el axioma de elección, y no puede ser escrito de forma explícita.

Por supuesto, si $\Bbb C_p$ no existe sin usar el axioma de elección, para empezar, entonces no podemos incrustar $\Bbb Q_p$ a $\Bbb C$. De lo contrario, podríamos haber tomado la intersección de todos los algebraicamente cerrado los subcampos de $\Bbb C$ que contienen los incrustado $\Bbb Q_p$.

Answer 2

Si no se preocupan por la topología, entonces cualquier campo de la característica $0$ y cardinalidad no mayor que la de $\Bbb C$ es un subcampo de la $\Bbb C$.

De hecho, usando el Axioma de Elección, para cada cardenal $\kappa > \aleph_0$, no es "solo" algebraicamente cerrado campo de cardenal $\kappa$. (aunque hay muchas contables algebrically campos cerrados de carácter $0$ : $\overline{\Bbb Q},\overline{\Bbb Q(X)},\overline{\Bbb Q(X,Y)}$ y así sucesivamente, que también puede ser comprendido como subcampos de $\Bbb C$).

Así que si $|K| \le |\Bbb C|$ $K$ es un subcampo de la $\overline{K}$, el cual es isomorfo a $\Bbb C$ o a uno de los contables de algebraicamente cerrado campos.