Recientemente he estado intentando aprender un poco sobre cohomología de grupos, pero hay un punto que me ha confundido. Según wikipedia ( http://en.wikipedia.org/wiki/Group_cohomology y algunas otras fuentes en Internet), dado un grupo (topológico) $G$ tenemos que la cohomología del grupo $H^n(G)$ es igual a la cohomología singular $H^n(BG)$ (con coeficientes en un trivial $G$ -módulo $M$ ). Además, dice que dado cualquier grupo $G$ si no nos importa su topología, siempre podemos darle la topología discreta y mirar la cohomología de $K(G,1)$ . Esto parece sugerir que cuando $G$ tiene una topología que do nos importa, podemos mirar $BG$ con cualquier topología $G$ se supone que tiene. La cita pertinente en esta sección es una referencia a un libro titulado Cohomología de grupos finitos, pero me preguntaba si este resultado funcionaría con grupos como $U(1)$ que no son finitos? Por otra parte, parecería entonces que hay algún tipo de forma natural de definir la cohomología del grupo para detectar la topología del grupo; por ejemplo, tal vez mirar continua $G$ y co-cadenas continuas. Sin embargo, he oído que al hacer esto, uno tiene que tener cuidado porque en general, la categoría de continuo $G$ -los módulos podrían no tener suficientes injetivos. Además, encontré este artículo de Stasheff ( http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183540920 ), lo que parece sugerir que para la cohomología continua, podríamos no tener la igualdad $H^n(BG)=H^n(G)$ entre cohomología singular y de grupo. Me preguntaba si alguien podría explicarme estas conexiones (incluyendo qué es la "cohomología continua") y/o aclarar qué está pasando. También sería estupendo si alguien pudiera decirme cómo se puede calcular algo como $H^n(U(1);M)$ donde $U(1)$ lleva la topología discreta. Gracias.
Respuestas
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Respuesta corta: no es conveniente considerar la cohomología de grupo definida para grupos finitos para grupos de Lie como $U(1)$ o los grupos topológicos en general. Hay otras teorías cohomológicas (no las de Stasheff) que son los grupos cohomológicos "correctos", en el sentido de que existen los isomorfismos correctos en dimensiones bajas con otras cosas diversas.
Respuesta larga:
La cohología de grupo, tal y como la encontramos, por ejemplo, en El libro de Ken Brown (o véase estos notas ), se trata de grupos discretos. La definición de cociclos de grupo en $H^n(G,A)$ para $A$ y grupo abeliano, se puede ver que son los mismos que los mapas de conjuntos simpliciales $N\mathbf{B}G \to \mathbf{K}(A,n)$ donde $\mathbf{B}G$ es el groupoide con un objeto y conjunto de flechas $G$ , $N$ denota su nervio y $\mathbf{K}(A,n)$ es el conjunto simplicial correspondiente (bajo la Correspondencia Dold-Kan ) al complejo de cadenas $\ldots \to 1 \to A \to 1 \to \ldots$ donde $A$ está en posición $n$ y todos los demás grupos son triviales. Los límites entre cociclos son homotopías entre mapas de espacios simpliciales.
La relación entre $N\mathbf{B}G$ y $K(G,1)$ es que esta última es la realización geométrica de la primera, y la realización geométrica de $\mathbf{K}(A,n)$ es un espacio de Eilenberg-MacLane $K(A,n)$ que representa la cohomología ordinaria ( $H^n(X,A) \simeq [X,K(A,n)]$ donde $[-,-]$ denota clases homotópicas de mapas). Esto se reduce al hecho de que los conjuntos simpliciales y los espacios topológicos codifican la misma información homotópica. A ello contribuye que $N\mathbf{B}G$ es un complejo Kan, y por tanto las clases de homotopía ingenuas son las clases de homotopía correctas, y por tanto tenemos
$$sSet(N\mathbf{B}G,\mathbf{K}(A,n))/homotopy \simeq Top(BG,K(A,n))/homotopy = [BG,K(A,n)]$$
De hecho, este isomorfismo es una equivalencia homotópica de los homoespacios completos, no sólo hasta la homotopía.
Si escribimos la misma definición de cociclos con un grupo topológico $G$ entonces se obtiene una cohomología "errónea". En particular, deberíamos tener la interpretación de $H^2(G,A)$ como isomorfo al conjunto de (clases de equivalencia de) extensiones de $G$ por $A$ como para los grupos discretos. Sin embargo, de este modo sólo obtenemos productos semidirectos de grupos topológicos, mientras que hay extensiones de grupos topológicos que no son productos semidirectos, sino que son haces principales no triviales además de extensiones de grupos. Consideremos, por ejemplo $\mathbb{Z}/2 \to SU(2) \to SO(3)$ .
La razón es que cuando se trata de mapas entre simpliciales espacios como $N\mathbf{B}G$ y $\mathbf{K}(A,n)$ convertido cuando se trata de grupos topológicos, no basta con considerar mapas de espacios simpliciales; hay que localizar la categoría de espacios simpliciales, es decir, añadir los inversos formales de ciertos mapas. Esto se debe a que los mapas ordinarios de espacios simpliciales no son suficientes para calcular el espacio de mapas como antes. Seguimos teniendo $BG$ como la realización geométrica del nervio de $\mathbf{B}G$ por lo que una definición de la cohomología del grupo topológico $G$ con valores en el discreto grupo $A$ es considerar la cohomología ordinaria $H^n(BG,A) = [BG,K(A,n)]$ .
Sin embargo, si $A$ es también un grupo topológico no discreto, esto no es realmente suficiente, porque para definir la cohomología de un espacio con valores en un grupo no discreto, se debe buscar en cohomología de la gavilla donde los valores se toman en la gavilla de grupos asociada a $A$ . Para grupos discretos $A$ esto da el mismo resultado que la cohomología definida de la "manera habitual" (por ejemplo, utilizando los espacios de Eilenberg-MacLane).
Así que la historia es un poco más complicada de lo que suponías. La forma "correcta" de definir la cohomología para grupos topológicos, con valores en un grupo topológico abeliano (al menos con algunas suposiciones suaves de amabilidad en nuestros grupos) fue dada por Segal en
G Segal, Cohomología de grupos topológicos, en: "Symposia Mathematica, Vol. IV (INDAM, Roma, 1968/69)", Academic Press (1970) 377-387
y posteriormente redescubierto por Brylinski (es difícil encontrar una copia del artículo de Segal) en el contexto de los grupos de Lie en este artículo .
La mayoría de las veces, $H^n(G)$ significa $H^n(BG)$ con la topología discreta, y los topólogos tienden a escribir $K(G,1)$ en lugar de $BG$ destacar que $G$ se considera un grupo discreto. Esto se debe a que cuando $G$ viene con una topología natural entonces $BG$ se supone típicamente que tiene en cuenta la topología, concretamente existe una fibración con base $BG$ espacio total contractible, y fibra $G$ con su topología dada, y esto especifica $BG$ hasta el tipo de homotopía.
Una forma de estudiar $K(U(1),1)$ es observar que existe una secuencia exacta corta de grupos (discretos) $0\to Z\to R\to U(1)\to 0$ .
La cohomología continua es más compleja, ya que tiene en cuenta la topología, y a menudo se define mediante métodos simpliciales.
Por cohomología continua de un grupo topológico G se entiende la utilización del complejo de cadenas habitual de funciones multivaraibles F:G^n \to A con la coordenada habitual excepto que se requiere que f sea continua. en el caso suave, continua o suave da la misma cohomología. En el caso Lie, van Est estableció relaciones muy agradables entre esta cohomología la cohomología del álgebra de Lie y la cohomología puramente topológica del espacio subyacente G
