Demuestre que un anillo conmutativo con unidad que no tiene ideales propios es un anillo campo.
Sin ideales adecuados significa que $\{0\},R$ son los únicos ideales de $R$ . Pero entonces $\{0\}$ es un ideal maximal y por tanto aplicando el primer teorema de isomorfismo obtenemos que $$R/\{0\} \cong R$$ y puesto que $\{0\}$ es maximal también tenemos que $R/\{0\}$ es un campo. Así, $R$ es un campo.
¿Es correcto este razonamiento?
Sí, eso parece bien, aunque se puede hacer directamente inspeccionando la demostración del teorema que has utilizado.
Obsérvese que si elegimos $a\neq 0$ entonces el ideal generado por $a$ que es igual a $Ra$ es todo $R$ Por lo tanto $1$ se encuentra en $Ra$ .
Así que hay un elemento $r\in R$ tal que $ra=1$ . así que $a$ tiene una inversa.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
