No me queda claro qué es exactamente lo que busca, pero intentaré darle una respuesta. Si la población es normal con varianza $\sigma^2,$ entonces la cantidad $${{(n-1)}s^2 \over {\sigma^2}}$$ tiene una distribución chi-cuadrado con $n-1$ grados de libertad, donde $n$ es el tamaño de la muestra y $s^2$ es la varianza muestral utilizando $n-1$ en el denominador.
Una variable aleatoria chi-cuadrado es un caso especial de una variable aleatoria gamma, y una variable aleatoria gamma tiene la propiedad de que si se multiplica por una constante, sigue siendo una variable aleatoria gamma, sólo que con un parámetro de escala diferente.
Usando esta propiedad, podemos encontrar que la varianza de la muestra $s^2$ tiene una distribución gamma con parámetro de forma igual a ${{(n-1)} \over {2}}$ y un parámetro de escala igual a ${{2 \sigma^2} \over {n-1}}$
La distribución de $s,$ siendo un poder positivo de $s^2,$ tiene una distribución gamma generalizada. Utilizando la parametrización de Wikipedia, los valores de los parámetros son $$p=2, \ d=n-1, \ a= \sigma \sqrt{ {{2} \over {n-1}} } $$
De nuevo de Wikipedia, tenemos la expectativa de una gamma generalizada como $$E[X] = { {a \Gamma \left( {{d+1} \over {p}} \right) } \over { {\Gamma \left( {{d} \over {p} } \right) } } } $$
Entonces tenemos inmediatamente que el valor esperado de $s$ es
$$E[s] = { {\sigma \sqrt{{{2} \over {n-1}}} \Gamma \left( {{n} \over {2}} \right) } \over { {\Gamma \left( {{n-1} \over {2} } \right) } } } $$
Esto muestra que es un estimador sesgado y sugiere cómo modificarlo si desea una versión insesgada.
Nota para atender la petición del PO: La fórmula para $s^2$ es $$s^2 = {{1} \over {n-1}} \sum_{i=1}^n {\left( x_i - \bar x \right)^2}$$
