Mayor contribución en una suma de variables aleatorias independientes

Question

En el apartado 2.4 (Suma de variables aleatorias estrictamente estables), página 54, del libro "azar y estabilidad", Zolotarev, Uchaikin se hace la siguiente consideración :

La relación general de equivalencia para sumas S n de independientes idénticamente distribuidos estrictamente estables r.v.s $Y_i$ es de la forma:
$\sum_{i=1}^n Y_i(\alpha; \beta) \sim n^{\frac{1}{\alpha}} Y(\alpha; \beta)$
Como observó Feller, estos resultados tienen importantes e inesperadas inesperadas. Consideremos, por ejemplo, una distribución estable con $\alpha<1$ La media aritmética $(X_1 + \dots + X_n )/n$ tiene la misma distribución que $X_1$ $n^{-1+\frac{1}{}}$ Mientras tanto, el factor $n^{ 1+1/ }$ tiende a infinito a medida que n crece. Sin perseguir el rigor, podemos decir que la media de n variables $X_k$ resulta considerablemente mayor que cualquier sumando fijo $X_k$ . Esto sólo es posible en el caso de que el plazo máximo
$M_n = max \{ X_1 , \dots, X_n \}$
crece extremadamente rápido y es el que más contribuye a la suma $S_n$ . El análisis más detallado confirma esta especulación.

¿Cómo puede demostrarse la última afirmación de forma más rigurosa? ¿Cómo se puede excluir, por ejemplo, que la mayor contribución a la suma $S_n$ procede de un subgrupo de $n^{\nu(\alpha)}$ elementos, cada uno de orden $n^{\mu(\alpha)}$ $\left( \text{with } \mu(\alpha) < \frac{1}{\alpha} \text{ and } \mu(\alpha)+\nu(\alpha) = \frac{1}{\alpha} \right)$ ?

Answer 1

Heyde mostró lo siguiente:

Sea $X_1,X_2,\dots$ sea una secuencia de variables aleatorias iid tales que, para $S_n:=\sum_1^n X_i$ , $S_n/B_n$ converge en distribución a una ley estable, cuyo soporte es toda la recta real y que tiene índice $\alpha\ne1$ . Entonces para cualquier secuencia $(x_n)$ yendo a $\infty$ , $$P(|S_n|>x_nB_n)\sim nP(|X_1|>x_nB_n) \\ \sim P(\max_{1\le i\le n}|X_i|>x_nB_n).\tag{$ * $}$$

MR Comentario del revisor H. Kesten : Sin muchos problemas se podría haber demostrado la forma unilateral (ligeramente más aguda) de ( $$ ) obtenida eliminando los valores absolutos alrededor de $S_n$ y $X_i$ .

Se desprende de ( $$ ) o, mejor, de su prueba, que la contribución abrumadora a una gran desviación de la suma $S_n$ viene dado, con una probabilidad abrumadora, por el mayor de los sumandos $X_i$ . Si tiene acceso a MathSciNet, también podrá ver las numerosas referencias al artículo de Heyde, con desarrollos posteriores.

Answer 2

El artículo de Heyde comentado en la excelente respuesta de Iosif Pinelis se refiere a una situación más general en la que los sumandos no son estables, sino que hay convergencia a una ley estable tras la normalización. El caso en el que los propios sumandos son estables es más fácil, ya que se puede trabajar directamente con la estimación de la cola $P(X_1>R) \le CR^{-\alpha}$ . Esto se remonta a Levy (1925), véase, por ejemplo, el volumen 2 de Feller o [1]. Para descartar la hipótesis específica que ha descrito en la que $n^\nu$ las variables tienen magnitud $n^\mu$ basta con un límite de unión, ya que $$(1-\nu)n^\nu<\alpha \mu n^{\nu} \,.$$

[1] https://link.springer.com/content/pdf/10.1023/A:1009908026279.pdf