minimización de costes conociendo el coste de la mano de obra y del capital

Question

La función de producción es $f(L,M)=4L^{0.5}M^{0.5}$ donde L es el número de unidades de trabajo y M es el número de máquinas utilizadas . Si el coste de la mano de obra es $100 per unit and the cost of machines is$ 16 por unidad, entonces el coste total de producir 7 unidades de producción:

a. $140. b.$ 406. c. $112. d.$ 280. e. \Ninguna de las anteriores.

La respuesta es a). ¿Por qué? No soy capaz de dar ninguna explicación no es simplemente isoquant pendiente igual isocost pendiente, por lo tanto, ¿cómo resolver esta cuestión?

Answer 1

Por lo tanto, necesita producir siete unidades de producción: $7 = 4L^{0.5}M^{0.5}$ . Squaring, usted encuentra que se están restringiendo a la curva $LM = 49/16$ en el primer cuadrante como $L,M>0$ .

La función de coste es $C(L,M) = 100L + 16M$ . Se desea minimizarlo sujeto a la restricción $LM = 49/16$ . Podemos hacerlo de forma más general, pero en este caso, es bastante sencillo resolver $L = \frac{49}{16M}$ y así $$C = 100\frac{49}{16M} + 16M.$$

Ahora tenemos una función definida en $(0,\infty)$ . Observe que $\lim_{M\to 0}C = \lim_{M\to\infty}C = \infty$ por lo que la función tiene un mínimo global. Como es diferenciable, ese mínimo global estará en un punto crítico. Así que encontrar los puntos críticos de $C$ (es decir, resolver $C' = 0$ ) y averiguar cuál tiene el valor más bajo de $C$ .

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Si das un paso atrás, observa que por la regla de la cadena multivariable, denotando una derivada mediante subíndices y utilizando el teorema de la función implícita, encontrar puntos críticos implica resolver la ecuación $$C'(L(M),M) = C_L(L,M)L_M + C_M(L,M) = 0$$ Tenga en cuenta que $-C_M/C_L$ es la pendiente de la curva isocoste.

¿Qué es la $L_M$ ? Se define implícitamente: $\frac{\partial}{\partial M}f(L(M),M) = f_L(L(M),M)L_M + f_M(L(M),M)$ así que $L_M = -f_M/f_L$ . Es la pendiente de la curva isocuántica.

Resolviendo, el, tenemos $L_M = -C_M/C_L$ . En otras palabras, la condición de que $C' = 0$ se reduce a "la pendiente de la curva isocoste es igual a la pendiente de la curva isocuanta".