Por lo tanto, necesita producir siete unidades de producción: $7 = 4L^{0.5}M^{0.5}$ . Squaring, usted encuentra que se están restringiendo a la curva $LM = 49/16$ en el primer cuadrante como $L,M>0$ .
La función de coste es $C(L,M) = 100L + 16M$ . Se desea minimizarlo sujeto a la restricción $LM = 49/16$ . Podemos hacerlo de forma más general, pero en este caso, es bastante sencillo resolver $L = \frac{49}{16M}$ y así $$ C = 100\frac{49}{16M} + 16M. $$
Ahora tenemos una función definida en $(0,\infty)$ . Observe que $\lim_{M\to 0}C = \lim_{M\to\infty}C = \infty$ por lo que la función tiene un mínimo global. Como es diferenciable, ese mínimo global estará en un punto crítico. Así que encontrar los puntos críticos de $C$ (es decir, resolver $C' = 0$ ) y averiguar cuál tiene el valor más bajo de $C$ .
Si das un paso atrás, observa que por la regla de la cadena multivariable, denotando una derivada mediante subíndices y utilizando el teorema de la función implícita, encontrar puntos críticos implica resolver la ecuación $$ C'(L(M),M) = C_L(L,M)L_M + C_M(L,M) = 0 $$ Tenga en cuenta que $-C_M/C_L$ es la pendiente de la curva isocoste.
¿Qué es la $L_M$ ? Se define implícitamente: $\frac{\partial}{\partial M}f(L(M),M) = f_L(L(M),M)L_M + f_M(L(M),M)$ así que $L_M = -f_M/f_L$ . Es la pendiente de la curva isocuántica.
Resolviendo, el, tenemos $L_M = -C_M/C_L$ . En otras palabras, la condición de que $C' = 0$ se reduce a "la pendiente de la curva isocoste es igual a la pendiente de la curva isocuanta".
