Los ceros no singulares están aislados.

Question

Supongamos que $f: \mathbb{C}^N \to \mathbb{C}^n$ es una función con componentes $(f_1, \ldots, f_n)$ siendo polinomios en $N$ variables (así $f_i \in \mathbb{C}[X_1, \ldots, X_N]$ ). A cero $z^\ast$ se llama singular si el jacobiano de $f$ en $z^\ast$ $$J(f)(z^\ast) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1(z^\ast)}{\partial X_1} & \frac{\partial f_1(z^\ast)}{\partial X_2} & \ldots &\frac{\partial f_1(z^\ast)}{\partial X_N}\\ \frac{\partial f_2(z^\ast)}{\partial X_1} & \frac{\partial f_2(z^\ast)}{\partial X_2} & \ldots &\frac{\partial f_2(z^\ast)}{\partial X_N}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ \frac{\partial f_n(z^\ast)}{\partial X_1} & \frac{\partial f_n(z^\ast)}{\partial X_2} & \ldots & \frac{\partial f_n(z^\ast)}{\partial X_N} \end{pmatrix}$$ es de rango deficiente (no tiene rango completo). El libro que estoy leyendo es 'Numerically Solving Polynomial Systems with Bertini' de Bates, Hauenstein, Sommese y Wampler y dice que "los ceros no singulares están aislados donde $z^\ast$ es un cero aislado si existe alguna $r > 0$ tal que $B(z^\ast, r)$ (la bola con centro $z^\ast$ y radio $r$ ) no contiene ningún otro cero.

En caso de que $n = N$ Esto se deduce del teorema de la función inversa. Sin embargo, tengo problemas con el caso en que $n \neq N$ .

Para el caso en que $n \neq N$ He intentado utilizar una contradicción: supongamos que $z^\ast$ no está aislado, entonces para los conjuntos abiertos $B(z^\ast, \frac{1}{n})$ debe haber algún otro cero, digamos $z_n$ . Por lo tanto $z_n \to z^\ast$ como $n \to \infty$ . He intentado usar esto para mostrar que $z^\ast$ no puede ser un cero no singular, pero no soy capaz de hacerlo.

Pregunta: ¿Cómo puedo demostrar esto o podría alguien dar una referencia de alguna prueba?

Observación: El libro que utilizo se centra principalmente en la parte numérica de la búsqueda de ceros, pero tiene algunas secciones que entran en más detalle, sin embargo, estos detalles consisten principalmente en hechos que se afirman con poca o ninguna prueba. Esta pregunta es una afirmación sin pruebas.

Answer 1

La afirmación de su libro es en parte errónea.

La clave es conocer el teorema del rango constante: Si $U$ es un dominio en $C^N$ donde un mapa analítico-complejo $F: U\to C^n$ satisface $$ rank(dF)_z=k $$ para todos $z\in U$ y cerca de cada $\zeta\in U$ tras el cambio holomórfico de coordenadas cerca de $\zeta$ y cerca de ${\mathbf 0}\in C^n$ el mapa $F$ tiene la forma $$ (x_1,...,x_N)\mapsto (x_1,...,x_k,0,...0). $$

Si $\zeta$ es un cero no singular de $F: C^N\to C^n$ entonces, por continuidad del determinante, existe una vecindad de $\zeta$ donde $dF$ tiene rango constante $k$ igual $rank(dF_\zeta)$ . Consideremos ahora los siguientes casos especiales:

1. Si $N\le n$ y $\zeta\in C^N$ es un cero no singular, entonces $k=N$ y, por tanto, localmente, cerca de $\zeta$ el mapa es 1-1. Por lo tanto, $\zeta$ es efectivamente un cero aislado de $F$ en este caso.

2. Si $N>n$ y $\zeta\in C^N$ es un cero no singular, entonces $k=n$ y el mapa $F$ (en $\zeta$ tras un cambio local de coordenadas) se convierte en una proyección lineal. Por lo tanto, $\zeta$ no es un cero aislado en este caso: El conjunto de ceros cerca de $\zeta$ tiene dimensión $N-n$ .

(De hecho, se puede demostrar más en su situación: Si $F: C^N\to C^n$ es un mapa holomorfo y $N>n$ entonces $F^{-1}({\mathbf 0})$ no tiene puntos aislados, independientemente de que sean singulares o no).

La conclusión es que la afirmación de su libro sólo es válida si $N\le n$ .