Estoy copiando y pegando esta pregunta Pregunté en MO que no recibió respuesta.
La regla de signos de Koszul es una regla de signos que surge de las álgebras conmutativas graduadas. Por ejemplo, sea $\bigwedge(x_1,\dots, x_n)$ sea el álgebra conmutativa libre graduada generada por $n$ elementos de grados respectivos $\lvert x_i\rvert$ . Entonces, el signo $\varepsilon(\sigma)$ de una permutación $\sigma$ en $(x_1,\dotsc, x_n)$ viene dada por $$x_1\wedge\dotsb\wedge x_n=\varepsilon(\sigma)x_{\sigma(1)}\wedge\dotsb\wedge x_{\sigma(n)},$$ que proviene del hecho de que en un álgebra conmutativa graduada se tiene por definición $a\wedge b = (-1)^{\lvert a\rvert\lvert b\rvert}b\wedge a$ .
También existe una regla de signos antisimétrica de Koszul que surge de las álgebras anticonmutativas graduadas y es simplemente el signo anterior multiplicado por el signo de la permutación. Ambos signos se utilizan, por ejemplo, en Lada y Markl - Álgebras de tirantes simétricas .
Sin embargo, he estado viendo la regla del signo de Koszul utilizada en cualquier contexto graduado e incluso para operaciones que no son productos en algunas álgebras. Por ejemplo, de Roitzheim y Whitehouse - Singularidad de la $A_\infty$ -y cohomología de Hochschild dados mapas graduales de álgebras graduales $f,g:A\to B$ si queremos evaluar $f\otimes g$ en un elemento $x\otimes y$ aparentemente necesitamos aplicar la regla del signo para obtener $$(f\otimes g)(x\otimes y)=(-1)^{\lvert x\rvert\lvert g\rvert}f(x)\otimes g(y),$$ pero no veo ninguna razón matemática para hacerlo, simplemente parece una convención.
Un ejemplo más complejo de aplicación de la regla de signos de Koszul se encuentra en la definición de álgebra de abrazaderas (también en el artículo de Lada y Markl).
Podría dar muchos más ejemplos. En algunos de ellos puedo entender la razón. Por ejemplo, el diferencial de un producto tensorial de complejos $C$ y $D$ no puede ser simplemente $d_C\otimes 1_D+ 1_C\otimes d_D$ (puede definirse así si utilizamos la regla del signo cuando la aplicamos a elementos, pero en cualquier caso necesita el signo). Pero los mapas en general no tienen por qué ser diferenciales. En otros casos, los signos aparecen en la naturaleza y uno utiliza esta regla de signos para justificarlos, como en $A_{\infty}$ -algebras pero esto me parece demasiado artificial y no explica realmente por qué debemos utilizar esa regla de signos.
Así que, al final, cada vez que hay una secuencia $(x_1,\dotsc, x_n)$ de objetos graduados de cualquier tipo y no necesariamente todos del mismo tipo (elementos, mapas, operaciones, ), y relacionados de cualquier manera (pueden multiplicarse, o aplicarse, o lo que sea), utilizamos la regla del signo de Koszul para permutar la secuencia.
A mí todo esto me parece más filosófico que matemático, y como he dicho me da la sensación de ser sólo una convención. Pero, ¿existe alguna razón matemática general para utilizar la regla de los signos de una forma tan extensa? Y si es sólo una convención, ¿por qué deberíamos usarla? Según mi experiencia, resulta muy complicado aplicar la regla de los signos a fórmulas más grandes, y al final todo se queda en un $+$ o $-$ signo, así que no veo ninguna ventaja.
