Demuestra que $K:=\bigcap\{H\leq G:\forall_{x,y\in G}:xyx^{-1}y^{-1}\in H\}$ es un subgrupo normal de $G$

Question

$G$ es un grupo, utilicé $\leq$ decir que $H$ es un subgrupo de $G$ .

¿Puede alguien ayudarme a entender la pregunta? Sé que tengo que mostrar $\forall_{g\in G}:gK=Kg$ pero ¿qué es $K$ ¿Qué propiedades especiales tienen los elementos? Una pista de cómo podría empezar a entender lo que $K$ es, por qué es un subgrupo en primer lugar y qué propiedades especiales tienen los Elementos de $K$ sería muy apreciada.

Muchas gracias por ayudarme.

Answer 1

Oh, vaya. Tus comentarios se han desviado bastante del tema. En primer lugar, $\newcommand\inv{^{-1}}(xy)\inv =y\inv x\inv \ne x\inv y\inv$ (donde por $\ne$ No quiero decir que nunca sean iguales, sino que esta igualdad no se da en general).

Segundo $K$ es el subgrupo generado por todos los elementos de la forma $xyx\inv y\inv$ En general, hay elementos que no son de esta forma, aunque no tengo ningún ejemplo.

El truco es el siguiente. Supongamos que tenemos un conjunto $S\subseteq G$ con $gSg^{-1}\subseteq S$ para todos $g\in G$ . Entonces el subgrupo generado por $S$ , $$\langle S\rangle := \bigcap_{\substack{H\le G\\ S\subseteq H}} H$$ es normal.

Prueba:

En primer lugar, tenga en cuenta que $gSg\inv \subseteq S$ para todos $g$ en $G$ también tenemos $g\inv S g \subseteq S$ para todos $g$ en $G$ o $S\subseteq gSg\inv$ para todos $g\in G$ . Por lo tanto, tenemos $gSg\inv = S$ para todos $g\in G$ .

Entonces tenemos $$g\langle S\rangle g\inv = g\newcommand\of[1]{\left({#1}\right)}\of{\bigcap_{\substack{H\le G\\S\subseteq H}} H }g\inv=\bigcap_{\substack{H\le G\\ S\subseteq H}} gHg\inv.$$ Reindexación de esta intersección con $H'=gHg\inv$ tenemos $$g\langle S\rangle g\inv = \bigcap_{\substack{H'\le G \\ S\subseteq g\inv H' g}} H' = \bigcap_{\substack{H'\le G \\ gSg\inv \subseteq H'}} H' = \bigcap_{\substack{H'\le G \\ S \subseteq H'}} H' = \langle S \rangle. $$

Así $\langle S \rangle$ es normal como se desea. $\blacksquare$

Ahora relacionándolo con tu problema:

¿Ahora puedes demostrar que $g(xyx\inv y\inv)g\inv$ puede escribirse de la forma $aba\inv b\inv$ para algunos $a$ y $b$ en $G$ ? ¿Ves cómo esto, junto con el lema anterior, demuestra lo que quieres?