Evalúe $\int_{0}^{2} f(x-2) \ dx$ sabiendo que $\int_{-2}^{0} f(x) \ dx = 3$ (posible error del libro de texto)

Question

Me preguntan lo siguiente:

Evalúe $\int_{0}^{2} f(x-2) \ dx$ sabiendo que $\int_{-2}^{0} f(x) \ dx = 3$

Cuando intento hacer una sustitución en u obtengo

$$u=x-2\\ du = dx\\ \\ \text{when } x = -2 \Rightarrow u = -4\\ \text{when } x = 0 \Rightarrow u = -2$$

que no me lleva a ninguna parte. ¿Hay algún error tipográfico en el ejercicio? ¿Tendría más sentido si la pregunta original fuera la siguiente?

Evalúe $\int_{0}^{2} f(x+2) \ dx$ sabiendo que $\int_{-2}^{0} f(x) \ dx = 3$

en el que tendríamos

$$u=x+2\\ du = dx\\ \\ \text{when } x = -2 \Rightarrow u = 0\\ \text{when } x = 0 \Rightarrow u = 2$$

para que

$$\int_{0}^{2} f(x+2) \ dx = \int_{-2}^{0} f(x) \ dx = 3$$

Gracias, señor.

Answer 1

La sustitución $u=x-2$ no te lleva a ninguna parte, ¡te da la respuesta! Con esta sustitución, tus límites son $-2\leq u \leq 0$ y obtienes $$\int_0^2f(x-2)\,dx=\int_{-2}^0 f(u)\,du=\int_{-2}^0f(x)\,dx=3$$ La variable de integración es sólo una variable ficticia, es irrelevante.