Demuestra que $L^{\infty}$ no tiene un conjunto denso contable.

Question

Pude demostrar que cuando $p 1$ El $L^p$ espacio en el intervalo $[0,1]$ tiene un conjunto denso contable.

Sin embargo, cuando $p$ es infinito, ¿cómo demostrar que $L^p$ espacio en el intervalo $[0,1]$ no tiene un conjunto denso contable? No encuentro la manera de aproximarme.

Answer 1

Sea $f_s(x) = \chi_{[0,s]}(x)$ . Si $0 \le s < t \le 1$ ¿Qué es $\|f_s - f_t\|_\infty$ ?

Answer 2

Considere todos esos elementos $e_i$ cuyos términos son $0$ o $1$ Todos pertenecen a $L^\infty$ y son incontables teniendo cardinalidad $c$

$||e_i-e_j||=1$

Ahora bien, si un conjunto denso contable $D$ entonces deberíamos tener para cada $e_i$ un elemento $d_i$ tal que $||e_i-d_i||<\epsilon $ para cualquier $\epsilon $ >0(toma $\epsilon=\dfrac{1}{2}$ )

Esto no es posible ya que $D$ es contable