¿Qué hipótesis podría asumir además para decir si $f_n \in \Theta(g_n)$ si $f_n \sim \gamma g_n$ para algunos $\gamma \in \mathbb{R}$

Question

Después de este pregunta, me preguntaba qué otra condición podría plantear para garantizar que $f(x) \in \Theta(g(x))$ si existe una constante $\gamma \in \mathbb{R}$ tal que $f(x) \sim \gamma g(x)$ . (Por favor, asuma $x \rightarrow +\infty$ ).

¿Podría ayudar alguna condición en la segunda derivada?

Actualización: Por favor, siga asumiendo, como el post anterior la monotonicidad.

Answer 1

Además de su requisito original de que ambos $f(x)$ y $g(x)$ debe ser estrictamente monótona, necesitamos un muy hipótesis adicional restrictiva.

(A) Podríamos exigir que ambos $f(x)$ y $g(x)$ son polinomios no constantes. Entonces la condición $f(x)=\Theta(g(x))$ implica que nuestros polinomios tienen el mismo grado. Entonces podemos tomar $\gamma$ sea igual al de los coeficientes principales de los dos polinomios.

(B) He aquí otro ejemplo (también una hipótesis muy restrictiva):

Teorema: Que las funciones $f(x)$ y $g(x)$ ambos tienen la forma $C x^a \log^b x$ con $a,b,C$ : $$ f(x) = C_1 x^{a_1} \log^{b_1} x, \qquad g(x) = C_2 x^{a_2} \log^{b_2} x. \tag{$ * $} $$ Entonces
$$ f(x)=\Theta(g(x))\quad\Leftrightarrow\quad f(x)\sim \gamma g(x) \mbox{ for some } \gamma>0. $$

Prueba : La $\Leftarrow$ dirección es trivial.

En $\Rightarrow$ dirección: Supongamos que $f(x)$ y $g(x)$ tienen la forma $(*)$ y $$f(x)=\Theta(g(x)). \tag{1} $$

Primero establecemos (por contradicción) que la condición $(1)$ implica $$a_1=a_2, \qquad b_1=b_2. \tag{2} $$ Una vez que tengamos $(2)$ elige $$ \gamma = {C_1\over C_2}. $$

Las hipótesis (A) y (B) son demasiado restrictivas. Probablemente baste con exigir que ambas $f(x)$ y $g(x)$ pertenecen a un determinado subconjunto "agradable" de funciones de variación regular . (Quizá alguien desarrolle esto en otra respuesta. Además, podría resultar que el requisito de monotonicidad es en realidad innecesario si $f(x)$ y $g(x)$ pertenecen a un subconjunto "agradable" de funciones de variación regular).

Nota: Exigir que $f(x)$ y $g(x)$ sea monótona y regularmente variable no es suficiente; incluso monótona y de variación lenta ¡no es suficiente! He aquí un contraejemplo: $$ g(x) = 3\log x, \quad f(x) = 3\log x + \log x \sin \log \log x, \quad x\ge e. $$