Visión general de la interacción entre el Análisis Armónico y la Teoría de Números

Question

Estoy un poco decepcionado de que la pregunta aquí nunca fue afilada.

El Laplaciano $\Delta$ en el semiplano superior es $-y^{2}(\partial^{2}/\partial x^{2}+\partial^{2}/\partial y^{2}))$ . Supongamos que $D$ es el dominio fundamental de, digamos, un subgrupo de congruencia $\Gamma$ de $Sl_{2}(\mathbb{Z})$ . Funciones propias del espectro discreto de $\Delta$ son soluciones analíticas reales de $\Delta (\Psi)=\lambda \Psi$ que son $\Gamma$ -funciones equivariantes en $L^{2}(D, dz)$ donde $dz$ es la medida de Poincare en el semiplano superior. Evidentemente, estas funciones propias contienen bastante información sobre teoría de números. Francamente, este punto de vista sobre la teoría de números suena increíblemente interesante...

Preguntas: ¿Podría alguien sugerir un relato introductorio legible que cuente esta historia?

(Imagino que las respuestas incluirán las palabras Harish-Chandra, Langlands, etc...)

Además, si los expertos se animan a escribir un breve resumen como respuesta, también sería muy de agradecer.

Answer 1

Recomiendo encarecidamente la conferencia de Iwaniec en la ICM en 1986, que puedes leer aquí (en la página 444; página 546 del PDF), y el artículo de Peter Sarnak "Spectra of hyperbolic surfaces", que es aquí .

Answer 2

Diez conferencias sobre la interfaz entre la teoría analítica de números y el análisis armónico de Hugh Montgomery también merece la pena.

Answer 3

Creo que también es justo decir que cosas como la hiperbólica $n$ -Los espacios simétricos (y otros espacios simétricos), y sus cocientes aritméticos, son objetos primordiales, únicos (bueno, no del todo). Lo contrario de los objetos matemáticos "genéricos". En parte debido a la mayor complejidad técnica de su análisis armónico, resultan mucho menos familiares que los espacios euclidianos o sus cocientes, los círculos y sus productos.

Aparte del programa de Langlands y la discusión directa e intencionada de $L$ -funciones, me parece provocativo que el análisis armónico básico de $SL_2(\mathbb Z)\backslash H$ no sólo es mucho más sutil que la de $\mathbb R^2$ o $\mathbb R^2/\mathbb Z^2$ pero que esas sutilezas están directamente relacionadas con profundos problemas sin resolver. Como ejemplo bien conocido, mientras que entendemos fácilmente la norma sup de exponenciales en el análisis armónico en la recta real, las estimaciones agudas sobre el comportamiento puntual de las funciones propias para el Laplaciano en el semiplano superior dan Lindelof: por ejemplo, el valor de la serie de Eisenstein $E_s$ en $z=i$ es la zeta de los enteros de Gauss (dividida por $\zeta(2s)$ ).

Continuando, a diferencia del hecho de que el producto de dos exponenciales es una exponencial (es decir, el producto tensorial de dos irreducibles unidimensionales sigue siendo irreducible), la descomposición de productos tensoriales de formas de onda, o de los repns que generan, es muy peliaguda, y, de nuevo, está relacionada con graves problemas pendientes. (El libro de Iwaniec menciona ejemplos de este tipo).

Es decir, aparte de las "grandes conjeturas" sobre formas automórficas y funciones L por sí mismas, surgen cosas aún más primitivas de la teoría de números cuando intentamos hacer cosas inocentes y ordinarias que serían triviales en el espacio euclidiano.

Answer 4

Así es como yo lo veo. Corríjanme si me equivoco:

1. Inducir la representación trivial a partir de una red $\Gamma$ por ejemplo $\mathrm{SL}_2( \mathbb{Z})$ al grupo $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$ .

2. A continuación, considere la $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ -(en realidad, los pesos están asociados a representaciones unidimensionales de SO_2).

Esta representación es isomorfa a la representación $L^2(D,dz)$ que construyes arriba.

¿Cómo entra en escena el operador de Laplace Beltrami... Es el descenso del operador de Casimir a este espacio, que es el generador de todos los operadores diferenciales invariantes (= centro del álgebra envolvente universal de \mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})). Así que intuitivamente el operador Casimir captura la $G$ en el espacio de Hilbert.

¿Por qué nos interesamos por este tipo de construcciones? Maass descubrió que las transformadas de Mellin de la función zeta de Dedekind asociada a un campo real cuadrático son formas de Maass.

Ahora bien, como todo lo interesante $L$ funciones (as. a repr. de Galois, curvas elípticas,...) se conjeturan asociadas a alguna representación a algún grupo, parece que vale la pena: 1. 1. Estudiar si están asociadas y cómo (por ejemplo, la conjetura de Taniyama-Shimura). 2. Estudiar sus propiedades a un lado y concluir sobre el otro...

Los mapeos entre grupos y la comparación de sus funciones L también proporcionan información interesante sobre ellos (functorialidad), por ejemplo, la conjetura generalizada de Ramanujan estaría implícita en ciertas conjeturas de "functorialidad" entre grupos lineales generales.

Tal vez debería concluir que con los adeles $\mathbb{A}$ la mejor imagen es $$ \mathcal{L}^{2} ( \mathrm{SL}_2(\mathbb{Q}) \backslash \mathrm{SL}_2(\mathbb{A}))^{\mathrm{K}(m)\mathrm{SO}(2)} \cong \mathcal{L}^2(\Gamma(m) \backslash \mathbb{H}),$$

donde $\mathrm{K}(m)$ es el producto sobre $\mathrm{K}_p(m)$ el grupo de elementos de $\mathrm{SL}_2( \mathbb{Z}_p)$ que son la identy modulo $m$ . Esta imagen contiene los operadores de Hecke de forma más natural...