Una paradoja de dilatación temporal

Question

Sabemos por la relatividad especial que si un avión se aleja de nosotros a gran velocidad, su reloj irá más despacio que el nuestro: imaginemos dos aviones que se alejan uno del otro con velocidades iguales, así:

ahora la pregunta es: ¿qué reloj de avión va más lento? puedes decir que ambos relojes estan sincronizados pero sabemos que uno de los aviones tiene una velocidad relativa al otro por lo que debemos tener dilatacion del tiempo. si eliges uno de los aviones entonces tambien estoy en desacuerdo porque ambos son iguales y el problema tiene simetria.

Answer 1

¿qué reloj de avión va más lento?

Depende de cuál sea el marco de referencia que esté considerando.

En el marco de referencia de A, el reloj de B va más lento que el de A.
En el marco de referencia de B, el reloj de A va más lento que el de B.

En el marco de referencia de alguien que está en el suelo, los relojes de A y B funcionan más despacio que los del suelo Y funcionan a la misma velocidad.

Answer 2

Cada avión observa que el reloj del otro avión va lento en comparación con el suyo. No hay paradoja, ya que no existe un "tiempo" aboluto, sino sólo el tiempo propio de cada uno de los observadores.

Answer 3

El tiempo es mucho más parecido al espacio de lo que cabría esperar. No lo vemos porque nos movemos muy despacio.

La luz viaja a $3 \times 10^8$ m/s. Estamos cómodos en $3$ m/s. Nos cuesta entender la física relativista.

Consideremos un mundo en el que el movimiento más rápido es $3 \times 10^{-8}$ m/s. Esto es aproximadamente 1 m/año, la velocidad de un glaciar. No es mucho más rápido que $1$ cm/año, la velocidad de la deriva continental. Podemos conocer nuestras dificultades observando las dificultades que tienen los físicos del mundo glaciar con la física cotidiana.

En la física clásica del mundo glacial, cada objeto tiene una propiedad fija e intrínseca llamada posición. Todos los observadores coinciden en la posición de un objeto determinado. La posición puede utilizarse como identidad del objeto.

Sin embargo, las mediciones precisas o a lo largo de intervalos de tiempo prolongados muestran que la posición cambia con el tiempo. Esto da lugar a los conceptos contraintuitivos de "velocidad" y "fallo de homogeneidad".

Por lo general, pueden ignorarse. Pero los observadores que viajan a velocidades cotidianas verían efectos extraños. Bob y Alice están de acuerdo en que ambos tienen la posición $0$ a la vez $t_0$ . En $t_1$ , Bob dice que tiene posición $x_0$ tal y como cabría esperar. Del mismo modo, Alice dice que todo es normal con ella. Pero Bob dice que Alice está en $x_1$ y Alice dice que Bob está en $-x_1$ .

Esto no sólo es contraintuitivo. Es una paradoja. Un objeto no sólo tiene distintas posiciones en distintos momentos, sino que distintos observadores no se ponen de acuerdo sobre cuáles son esas posiciones. Ven una diferencia que crece en direcciones opuestas.

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Nuestras dificultades conceptuales son muy parecidas. Estamos acostumbrados a posiciones distintas en momentos distintos y a que dos observadores midan posiciones distintas para un mismo objeto.

Pensamos en la posición y el tiempo como identificadores de un acontecimiento. Pensamos en todos los acontecimientos en un momento dado como identificación del estado del universo. Pensamos que todos los observadores deberían estar de acuerdo en la medida del tiempo de un suceso dado, aunque no estén de acuerdo en la posición. No esperamos que la velocidad del observador afecte a la medición del tiempo.

Esta concepción del tiempo es incorrecta. En cambio, en un diagrama espacio-tiempo vemos que el presente de un observador incluye el pasado y el futuro de otro observador de una forma que depende de la velocidad. Esto conduce a todos los conceptos contraintuitivos y paradojas de la relatividad especial.

La contracción de la longitud es un ejemplo. Un observador ve una varilla en reposo. Mide al mismo tiempo la posición de los dos extremos. De ahí obtiene la longitud.

Otro observador en movimiento mide las posiciones de los dos extremos en su versión del mismo tiempo. Como utiliza tiempos diferentes a los del primer observador, ve los extremos en lugares diferentes. No es sorprendente que obtenga una longitud diferente.

Answer 4

Esta es una situación de transformación de Lorentz.

Tenemos dos marcos móviles: $S'_{\pm}$ , moviéndose a $\pm v_0$ . Y un marco ATC fijo, $S$ . Todos están en el mismo punto espacial en $t=t'_+=t'_-=0$ .

En $S$ , $t$ a medida que los aviones se desplazan por las líneas del mundo:

$$x_{\pm}(t) = (t,x_{\pm}) = (t, \pm v_0 t)$$

Transformemos $x_{\pm}(t)$ en $S'_{\pm}$ .

Primero la posición:

$$ x'_{\pm}=\gamma(x_{\pm}-(\pm v_0 t))$$ $$ x'_{\pm}=\gamma(\pm v_0 t -(\pm v_0 t))$$ $$ x'_{\pm} =0 $$

Es decir, los planos permanecen en el origen de su sistema de coordenadas en el que están en reposo. Bien.

Ahora la coordenada temporal:

$$ t'_{\pm} =\gamma_0\big(t -(\pm v_0)x_{\pm})\big)$$ $$ t'_{\pm} =\gamma_0\big(t -(\pm v_0)(\pm v_0 t)\big)$$ $$ t'_{\pm} =\gamma_0(t - v^2_0t))$$ $$ t'_{\pm} =t \times \gamma_0(1 - v^2_0))=t\gamma_0\gamma_0^{-2}$$ $$ t'_{\pm} =t/\gamma_0 $$

Así que los relojes de ambos aviones van más lentos que el reloj del ATC, al estar dilatados $\gamma_0 = 1/\sqrt{1-v_0^2}$ .

Ahora elegimos un plano y hacemos que mire al otro plano. La velocidad relativa de $S'_{\pm}$ en $S'_{\mp}$ es:

$$ v_1^{\pm} = \frac{\pm v + \pm v}{1+(\pm v)(\pm v)}$$ $$ v_1^{\pm} = \frac{\pm 2v_0}{1+v_0^2}$$

Ahora toma la coordenada del otro $\mp$ plano visto desde $S'_{\pm}$ a la vez $t'_{\pm}$ :

$$ x'_{\pm}(t'_{\pm}) = (t'_{\pm}, \mp v_1 t'_{\pm}) $$

y transformarlo en $S'_{\mp}$ .

Lo dejaré como ejercicio. La respuesta es:

$$ t'_{\mp} = t'_{\pm}/\gamma_1 $$

mostrando que cada avión ve que el reloj del otro va más lento.

Esta es realmente la primera paradoja de la dilatación del tiempo, y la resolución a la aparente contradicción (por supuesto no hay contradicción real), es que cuando $S'_{\pm}$ está estudiando $S'_{\mp}$ 's clock, it's not the same time that $S'_{\mp}$ está estudiando $S'_{\mp}$ del reloj. La relatividad de la simultaneidad importa.