¿Cuál es el dominio y el rango de $h(x,y)=\ln(1 + \exp(-(x+1)(y-1))$ y $h(x,y)=\exp((y-x)^2+2(2-x)^2)$ ?

Question

I. $h(x,y)=\ln(1 + \exp(-(x+1)(y-1))$

idea: debido a la $\ln$

$(1 + \exp(-(x+1)(y-1))> 0$

debido a la $\exp$

$-(x+1)(y-1)>0$ en este punto no se como continuar

ii. $h(x,y)=\exp((y-x)^2+2(2-x)^2)$

debido a la $\exp$ $((y-x)^2 +2(2-x)^2) >0$

Answer 1

Para i):

Dominio: Debido a la $\ln$ necesitas eso $1+\exp(-(x+1)(y-1))>0$ pero siempre es así.

Gama: Para $x=-y$ obtienes $h(-y,y)=\ln(1+\exp((y-1)^2))>\ln(\exp((y-1)^2))=(y-1)^2$ por lo que la función es ilimitada. Además se puede demostrar que $$\lim_{x\rightarrow \infty} h(x,x)=\ln(1+0).$$ La gama es $(0,\infty)$ .

Para ii) Dominio: $\mathbb{R}^2$ también.

Gama: Usted puede comprobar fácilmente que $h(x,x)$ no tiene límites. Además $h(2,2)=1$ por lo que el rango es $\left[1,\infty\right)$ .