Comparación entre soluciones de EDO

Question

¿Podría alguien ayudarme con el siguiente problema?

Sea R(t) la solución de la ecuación integral: $R(t)=1+\int_{0}^{t}\frac{1}{R(s)}ds$ a saber $R(t)=\sqrt{2t+1}$ . Supongamos que X es continuo y positivo en $[0,\infty)$ y satisface: $X(t) \leq 1+\int_{0}^{t}\frac{1}{X(s)}ds$ para $t\geq0$ . ¿Tiene $X(t) \leq R(t)$ ¿seguir? Demuéstralo o pon un ejemplo.

¡Muchas gracias!

Answer 1

Si $X(t)\ge R(t)$ para todos $t$ entonces creo que puedes probar fácilmente que $X(t)=R(t)$ . Así que si hay un contraejemplo, hay que buscar uno que tenga $X(t)<R(t)$ al menos parte del tiempo.