Prueba de que ninguna permutación puede expresarse a la vez como producto de un número par de transposiciones y como producto de un número impar de transposiciones.

Question

Soy consciente de que hay un par de pruebas conocidas de este teorema, pero me estoy enfrentando específicamente a la prueba dada en Fraleigh's Primer curso de álgebra abstracta (Teorema 9.15 del libro de texto).

Sea $s$ sea una permutación en el grupo simétrico de grado $n$ y que $t$ sea una transposición $(i,j)$ en el mismo grupo. Si $n$ es $1$ o infinito, hemos terminado. En caso contrario, ....[se omiten los detalles de la prueba.] (Utilizamos la convención de derecha a izquierda para multiplicar permutaciones).

Bien, hemos demostrado que el número de órbitas de $s$ y $ts$ difieren en 1. Esta parte la entiendo. Pero no entiendo cómo deducir el teorema a partir de aquí. Estaría muy agradecido si alguien me puede ayudar a aclarar mi punto ciego. Muchas gracias.

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Añadido por Dylan. He aquí la explicación de Fraleigh (por favor, no me demandes):

Hemos demostrado que el número de órbitas de $\tau \sigma$ difiere del número de órbitas de $\sigma$ por $1$ . La permutación de identidad $\iota$ tiene $n$ órbitas, porque cada elemento es el único miembro de su órbita. Ahora el número de órbitas de una permutación dada $\sigma \in S_n$ difiere de $n$ por un número par o impar, pero no por ambos. Por lo tanto, es imposible escribir $$ \sigma = \tau_1 \tau_2 \cdots \tau_m \iota $$ donde el $\tau_k$ son transposiciones, de dos maneras, una con $m$ incluso y una vez con $m$ impar. $\qquad \diamond$

Answer 1

Sea $\newcommand{\orb}{\operatorname{orbits}} \orb(s)$ sea el número de órbitas en $s$ . Voy a suponer que ya ha demostrado que $\orb(ts)$ difiere de $\orb(s)$ por $1$ para cualquier transposición $t$ . En particular, tenemos $$\orb(ts) \equiv \orb(s) + 1 \pmod 2 .$$ Por simple inducción (sobre $k$ ), esto implica que $$\orb(t_1 t_2 \cdots t_k s) \equiv \orb(s) + k \pmod 2$$ para cualquier secuencia de $k$ transposiciones $t_1, \ldots, t_k$ . Por último, establecer $s$ para ser la permutación de identidad, tenemos $$ \orb(t_1 t_2 \cdots t_k) \equiv n + k \pmod 2. \tag{$ \puñal $} $$

Ahora bien, si una permutación $\sigma$ se expresa como producto de transposiciones como $\sigma= t_1 t_2 \cdots t_k$ entonces $(\dagger)$ dice que $k \equiv \orb(\sigma) + n \pmod 2$ . En otras palabras, en cualquier representación de $\sigma$ como producto de transposiciones, la paridad del número de transposiciones utilizadas es un invariante, igual a $(\orb(\sigma) + n) \bmod 2$ . Este invariante de la permutación es lo que en breve (¡en su libro!) se llamará su firma.

Answer 2

Sigo encontrando el polinomio (en $n$ indeterminadas conmutativas) $s(x_1,x_2,\ldots, x_n) = \prod _{i < j} (x_i - x_j)$ para ver que el signo de una permutación $\sigma$ está bien definido. Configuración $s^{\sigma}(x_1,x_2,\ldots, x_n) = \prod _{i < j} (x_{\sigma(i)} - x_{\sigma(j)})$ para una permutación $\sigma$ deja claro que $s^{\sigma} = \pm s,$ y que el signo es $(-1)^{m(\sigma)},$ donde $m(\sigma)$ es el número de pares ordenados $(i,j)$ con $i < j$ y $\sigma(i) > \sigma(j).$ Es evidente que $(-1)^{m(\sigma)} = -1$ si $\sigma$ es una transposición. Sin embargo, esto no ayuda a explicar la prueba de Fraleigh.

Answer 3

Lo siento si esto debería ser un nuevo post. Por favor, hágamelo saber si debería. Estoy pidiendo una aclaración para la prueba de Srivatsan - basada en la de Fraleigh - así que pensé que sería más conveniente para los futuros lectores si lo preguntaba aquí. Gracias.

$\Large{\text{1 -}}$ ¿Cómo funciona exactamente $\orb(ts) \equiv \orb(s) + 1 \pmod 2 \Longrightarrow \orb(t_1 t_2 \cdots t_k s) \equiv \orb(s) + k \pmod 2$ ?

Mi suposición --- entiendo la prueba para cualquier transposición $t$ - $$\orb(\color{green}{ts}) \equiv \orb(\color{cornflowerblue}{s}) +1\pmod 2 \tag{$ \clubsuit $}$$ Entonces, ¿sólo aplicamos esto a $\orb(\color{green}{t_1 t_2s})$ para obtener - $$\orb(\color{green}{t_1 t_2s}) \equiv \orb(\color{cornflowerblue}{t_1s}) + 1 \pmod 2 ?$$

Mi preocupación es que el RHS de { $\clubsuit$ } tiene $\color{cornflowerblue}{s}$ NOT ( $ts$ ).

$\Large{\text{2 -}}$ No debería $$\orb(t_1 t_2 \cdots t_k) \equiv n + k \pmod 2 \iff k \equiv \orb(t_1 t_2 \cdots t_k) \LARGE{\text{ MINUS }} \normalsize n \pmod 2 ?$$ $\Large{\text{3 -}}$ ¿Cómo puede $k \equiv \orb(\sigma) - n \pmod 2$ ¿significa que k (= paridad del número de transposiciones) no puede ser a la vez impar y par? En mi curso de introducción no se hablaba de signatura ni de invariante.

$\Large{\text{4 -}}$ Muchas gracias a Ryan y Srivatsan por separar ( $\clubsuit$ ) como lema. En el libro de Fraleigh estaba completamente confundido sobre cómo ( $\clubsuit$ ) relacionado con el Teorema. Pero ¿cómo se puede esperar necesitar ( $\clubsuit$ ) para demostrar el teorema? Si no fuera por ti y el libro de texto, nunca vería para empezar ( $\clubsuit$ ).