Estoy intentando comprender mejor $p$ -ádicos evaluando algunos ejemplos. Quiero considerar el $5$ -campo ácido. ¿Cuáles son las expansiones reducidas de $127$ , $5/16$ y $3/5$ en el campo 5-adic? (He visto que para enteros negativos es una serie infinita simple, pero para enteros positivos y racionales me cuesta ver cómo encontrar estas expansiones).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Creo que el $5$ -Los números arábigos son el mejor campo para resolver problemas. Para cálculos manuales, recomiendo escribir todo en $5$ expansión -aria, es decir base $5$ . Con los poderes superiores de $5$ a la izquierda, por supuesto, para que su primera pregunta se responda escribiendo $127_{10}=1002_5$ - eso es $2$ y $5^3$ .
Su tercera pregunta se refiere a $3/5$ que es simplemente $3\times5^{-1}$ En otras palabras, $0.3_5$ .
Tu segunda pregunta es la más interesante, porque implica una expansión repetitiva infinita. Recuerde que $5$ -adically, the tiny powers of $5$ son los que tienen exponentes altos: como $n\to+\infty$ , $5^n\to0$ cinco veces al año. Así que tu expansión infinita va a ir hacia la izquierda, no hacia la derecha.
Lo que hay que hacer para expresar $1/16$ como $5$ -es hallar la primera potencia de $5$ , $5^n$ tal que $16|(5^n-1)$ . Bueno, el primer múltiplo de $16$ entre los números $4, 24, 124, 624, 3124\cdots$ es $624=16\times39$ . Así obtenemos $$ \frac1{16}=\frac{39}{624}=\frac{-39}{1-625}=\frac{-39}{1-5^4}\,, $$ en la que he torturado la fracción original en forma de serie geométrica infinita, $-39(1+5^4+5^8+5^{12}+\cdots)$ . Pero esto no nos sirve de nada: si eso hubiera sido $39$ delante de la serie en lugar de $-39$ habríamos obtenido una expansión repetitiva para $-1/16$ de $$ -\frac1{16}=39+39\times5^4+\cdots=\>\cdots012401240124_5\,, $$ desde el $5$ representación -aria de $39$ es $124_5$ .
¿Qué hacer? Pensemos en $1/16$ como $1-\frac{15}{16}$ . Utilización de $15\times39=585$ que tiene el $5$ expansión -aria $4320$ obtenemos \begin{align} \frac1{16}&=1-\frac{15}{16}=1+\frac{585}{1-5^4}\\ &=1+585+585\times5^4+585\times5^8+\cdots\\ &=1+\>\cdots4320432043204320_5\\&=\cdots4320432043204321_5\,, \end{align} y ahí tienes la expansión de $\frac1{16}$ . Pero usted pidió $\frac5{16}$ y eso se consigue desplazando lo anterior un lugar hacia la izquierda: $\cdots43204320432043210_5$
Y por último, supongo que debo confesar que encontré la expansión por primera vez utilizando un $p$ -paquete de computación que me acaba de decir la expansión de $1/16$ en un solo comando. Luego trabajé hacia atrás para descubrirlo. En realidad se puede hacer todo simple $p$ -cálculos puramente manuales, sin salirse nunca de la $p$ -Universo radical. Al igual que encontró $\frac17=.142857142857\cdots$ en la escuela primaria por división directa, puede hacer lo mismo para $5$ -representaciones aritméticas de números racionales. Necesitas una tabla de sumas de cinco en cinco y una tabla de multiplicaciones, que tú mismo escribes, y organizas la división de forma bastante diferente, porque el proceso tiene lugar de derecha a izquierda en lugar de la forma familiar. Sin embargo, no conozco ningún sitio donde esté publicado.
