Utilizando el Bockstein para demostrar que $\mathbb{R}P^3/\mathbb{R}P^1$ y $\Sigma \mathbb{R}P^2$ no son homotópicamente equivalentes.

Question

En el ejercicio anterior se pedía demostrar que los anillos de cohomología $H^*(\Sigma \mathbb{R}P^2; \mathbb{Z}/2)$ y $H^*(\mathbb{R}P^3/\mathbb{R}P^1; \mathbb{Z}/2)$ son isomorfos, por lo que probablemente deberíamos tomar el Bockstein asociado a

$$\mathbb{Z}/2 \to \mathbb{Z}/4 \to \mathbb{Z}/2$$

Los grupos de cohomología son $\mathbb{Z}/2, 0, \mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2, 0, 0, ...$ . Como una equivalencia homotópica entre espacios induce un isomorfismo en grupos de cohomología basta con demostrar que el único Bockstein no trivial de segunda a tercera cohomología tiene una acción diferente.

Podemos utilizar el teorema de los coeficientes universales para calcular $H^2(\Sigma \mathbb{R}P^2; \mathbb{Z}/4) \cong H^1(\mathbb{R}P^2; \mathbb{Z}/4) \cong \mathbb{Z}/2$ , $H^2(\mathbb{R}P^3/\mathbb{R}P^1; \mathbb{Z}/4) \cong 0$ , $H^3(\Sigma \mathbb{R}P^2; \mathbb{Z}/4) \cong H^2(\mathbb{R}P^2; \mathbb{Z}/4) \cong (\mathbb{Z}/4)/2 \cong \mathbb{Z}/2$ y $H^3(\mathbb{R}P^3/\mathbb{R}P^1; \mathbb{Z}/4) \cong \mathbb{Z}/4$ . Como la segunda homología con $\mathbb{Z}/4$ difieren, ya podemos concluir que los espacios no son homotópicamente equivalentes.

Por fin detectamos una diferencia. La larga secuencia exacta asociada a $\Sigma \mathbb{R}P^2$ est

$$\mathbb{Z}/2 \to \mathbb{Z}/2 \to \mathbb{Z}/2 \xrightarrow{\beta} \mathbb{Z}/2 \to \mathbb{Z}/2 $$

y el asociado a $\mathbb{R}P^3/\mathbb{R}P^1$ es

$$\mathbb{Z}/2 \to 0 \to \mathbb{Z}/2 \xrightarrow{\beta} \mathbb{Z}/2 \to \mathbb{Z}/4$$

Así que el segundo $\beta$ debe ser la identidad, mientras que la primera podría ser cero.

Fuente:

Answer 1

Como se trata de un ejercicio para un curso, intentaré dar pistas más que una respuesta completa. No sé qué has estudiado hasta ahora en tu curso, así que espero que puedas rellenar los huecos con el material que tengas disponible (las pruebas que tengo en mente utilizan propiedades relativamente básicas). En esta respuesta se supone que todos los grupos de cohomología tienen $\mathbb{Z}/2$ coeficientes.

El Bockstein es un estable operación de cohomología, lo que significa que si $\sigma \colon \tilde{H}^*(X) \to \tilde{H}^{*+1}(\Sigma X)$ es el isomorfismo de suspensión entonces tenemos el siguiente diagrama conmutativo: $\require{AMScd}$ \begin{CD} H^n(X) @>{\beta}>> H^{n+1}(X)\\ @V{\sigma}VV @V{\sigma}VV\\ H^{n+1}(\Sigma X) @>{\beta}>> H^{n+2}(\Sigma X) \end{CD}

es decir $\beta\circ \sigma = \sigma \circ \beta$ . Utilizar la estabilidad para calcular $\beta \colon H^2(\Sigma \mathbb{RP}^2) \to H^3(\Sigma \mathbb{RP}^2)$ .

También es natural en particular el mapa cociente $q\colon \mathbb{RP}^3 \to \mathbb{RP}^3/\mathbb{RP}^1$ da un diagrama conmutativo $\require{AMScd}$ \begin{CD} H^2(\mathbb{RP}^3/\mathbb{RP}^1) @>{\beta}>> H^3(\mathbb{RP}^3/\mathbb{RP}^1)\\ @V{q^*}VV @V{q^*}VV\\ H^2(\mathbb{RP}^3) @>{\beta}>> H^3(\mathbb{RP}^3) \end{CD}

Nótese que los mapas verticales son isomorfismos por la secuencia exacta larga del par. Utilice este diagrama para calcular $\beta \colon H^2(\mathbb{RP}^3/\mathbb{RP}^1) \to H^3(\mathbb{RP}^3/\mathbb{RP}^1)$ .