Hay muchas formas de demostrarlo $e^x$ y $\ln(x)$ son funciones inversas entre sí dependiendo de cómo las definas. Intento demostrar que dadas las definiciones
$$ e^x:= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \qquad \text{and} \qquad \ln(x) := \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \ dt$$
entonces $$ e^{\ln(x)}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left( \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \ dt \right)^k =x$$
Mi intento:
Mi idea era demostrar que $\frac{d^2}{dx^2} e^{\ln(x)} =0$ y luego usar las condiciones iniciales que puedo obtener evaluando las definiciones en valores específicos para averiguar que la constante de integración debe ser $0$ .
Haciendo esto obtengo $$ \frac{d^2}{dx^2}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left( \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \ dt \right)^k = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \frac{d^2}{dx^2} \left( \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \ dt \right)^k $$ A partir de aquí utilizo el hecho de que $\frac{d^2}{dx^2} f(g(x)) = g'(x)^2 f''(g(x)) + f'(g(x))g''(x)$ que aplicado a esto me da \begin{align*} =& \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \left[\left(\frac{1}{x}\right)^2 k(k-1)\left( \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \ dt \right)^{k-2} + k\left( \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \ dt \right)^{k-1} \left(-\frac{1}{x^2}\right) \right]\\ =&\frac{1}{x^2}\left[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k-2)!}\left( \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \ dt \right)^{k-2} - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k-1)!}\left( \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \ dt \right)^{k-1} \right]= \frac{1}{x^2} \left(\frac{1}{(-2)!}\right) \left[\ln(x) \right]^{-2} \end{align*} que es el punto en el que me di cuenta de que podía haber cometido varios errores en el proceso, ya que este último resultado no tenía mucho sentido para mí.
¿Alguien podría decirme dónde están mis errores? Y también, ¿alguien conoce otra forma de mostrar rigurosamente este resultado a partir de las definiciones del principio? Gracias.
