Esto no es una respuesta, sino un argumento probabilístico (es decir, heurístico) demasiado largo para un comentario.
Quiero argumentar que la ecuación $x^4+y^4+1=z^2$ es probable que tenga soluciones no triviales y que el hecho de que no haya ninguna con $y<10^8$ no es precisamente una buena prueba de falta de soluciones. En primer lugar, mirando módulo 4 y 5 observamos que $x, y$ deben ser ambas divisibles por 10. Obsérvese también que módulo a otros primos no parece haber ningún obstáculo inusual, es decir, aproximadamente la mitad de los valores de $\{x^4+y^4+1; x, y \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\}$ son residuos cuadráticos módulo $p$ .
Entonces escribimos nuestra ecuación como $10^4(x^4+y^4)+1=z^2$ . Un número aleatorio de orden $n$ tiene una probabilidad aproximada de $\tfrac{1}{2\sqrt{n}}$ de ser un cuadrado pero aquí sabemos que es un cuadrado módulo $10^4$ por lo que la probabilidad condicional es aproximadamente $4/\sqrt{n}$ . Así que para fijo $y$ el número previsto de $x$ lo que haría que $10^4(x^4+y^4)+1$ un cuadrado perfecto es aproximadamente $$ \sum_{x=1}^\infty \frac{1}{25\sqrt{x^4+y^4}}\sim \frac{2}{27y}, $$ la última comparación es asintótica para grandes $y$ (por supuesto, la constante exacta no es $2/27$ ), pero el valor de la suma es algo menor para valores pequeños de $y$ .
La suma $\sum_{y=1}^\infty \frac{2}{27y}$ diverge (lo que sugiere que hay infinitas soluciones) pero si se suma sólo sobre $y\leq 10^8$ la suma sigue siendo sólo aproximadamente $1.4$
