¿Cuáles son algunos ejemplos de "quimeras" en matemáticas?

Question

El mejor ejemplo que se me ocurre en este momento es el sistema numérico surrealista de Conway, que combina el comportamiento 2-ádico en-lo-pequeño con $\infty$ -comportamiento radical en los grandes. El elemento más sencillo de un subconjunto de enteros positivos (o negativos) es el más cercano a 0 con respecto a la norma arquimediana, mientras que el racional diádico subrealmente más sencillo en un subintervalo de (0,1) (o más generalmente $(n,n+1)$ para cualquier número entero $n$ ) es el más cercano a 0 con respecto a la norma 2-ádica (es decir, la de menor denominador).

Esta quimericidad también aparece de forma muy concreta en la teoría de las cuerdas de Hackenbush: el valor de una cadena se obtiene leyendo la primera parte de la cadena como la representación unaria de un número entero y el resto de la cadena como la representación binaria de un número entre 0 y 1 y sumando los dos.

Me cuesta decir exactamente lo que entiendo por quimericidad en general, pero algunos no-ejemplos pueden transmitir un mejor sentido de lo que no quiero decir con el término.

Un sistema numérico formado por los reales positivos y los enteros negativos sería sería quimérico, pero como no surge de forma natural (que yo sepa), no cumple los requisitos.

Del mismo modo, el mapa continuo de $\bf{C}$ a $\bf{C}$ que envía $x+iy$ a $x+i|y|$ es quimérico (se hace una función holomorfa y una función holomorfa conjugada cosidas juntas en este Fr conjugada de esta manera tan Frankenstein), por lo que esto podría calificarse si alguna vez surgiera de forma natural, pero nunca he visto nada parecido.

Las geometrías no euclidianas tienen comportamientos diferentes en lo grande y en lo pequeño, pero los dos comportamientos no me parecen realmente incompatibles (sobre todo porque es posible transición continua entre geometrías de curvatura distinta de cero y de curvatura cero).

Una fuente de ejemplos de quimeras podría ser la física, ya que cualquier Teoría del Todo tendría que parecerse a la relatividad general en lo grande y a la teoría cuántica en lo y la teoría cuántica en lo pequeño, y esta brecha es muy difícil de salvar. Pero quizá haya otras quimeras matemáticas con una génesis puramente matemática.

Véase también mi post complementario ¿De dónde proceden las cifras surrealistas y qué significan? .

Answer 1

La geometrización revela una naturaleza quimérica de las superficies y los 3-manifolds:

1. Las superficies cerradas son S 2 (curvatura constante 1, geometría esférica) o T 2 (curvatura constante 0, geometría euclidiana), o hiperbólicas, con curvatura constante -1. Estos tres tipos de superficies cerradas son de distinta naturaleza.
2. Los autodifeomorfismos de superficies compactas son un $2\frac{1}{2}$ -quimera con cabeza ( Clasificación de Nielsen-Thurston ). O son de orden finito, o son reducibles (dejando invariante un subconjunto de curvas disjuntas), o son pseudo-Anosov. Los autodifeomorfismos reducibles pueden restringirse a subsuperficies obtenidas cortando la superficie a lo largo de curvas invariantes, por lo que en sentido estricto no forman una cabeza disjunta. La iteración de un difeomorfismo pseudo-Anosov da un "sistema dinámico caótico" (tiene una órbita densa, no tiene puntos fijos y los puntos periódicos son densos), por lo que es "fuertemente mezclador"; mientras que un difeomorfismo de orden finito es "muerto", apenas mezclador, con un punto fijo y órbitas dispersas.
3. Los 3manifolds geométricos son una quimera de 8 cabezas. Un 3-manifold orientado primo cerrado puede ser cortado a lo largo de tori, de modo que el interior de cada uno de los manifolds resultantes tiene una estructura geométrica con volumen finito ( Teorema de geometrización ). Existen ocho geometrías posibles que podrían tener estas piezas, todas muy diferentes.

Además, la cubulación revela que los grupos fundamentales de los 3-manifoldos son un $2\frac{1}{2}$ -quimera con cabeza (aún no están colocadas todas las piezas). Una referencia es el documento de supervivencia de Aschenbrenner-Friedl-Wilton . El grupo fundamental de un 3manifold cerrado orientado primo es o bien finito, o bien soluble (estos son $1\frac{1}{2}$ -cabezas) o actúan virtualmente libres en un complejo cúbico CAT(0) ("virtualmente especiales", o "subgrupo cuasiconvexo de un grupo de Artin en ángulo recto" serían otras formas de expresarlo), que es como ser "libres". Así que, o bien son "fuertemente mezclables", "virtualmente bastante libres" (negación muy fuerte de la propiedad T), o bien están "muertas", propiedad T, lo que significa que tienen que ser finitas, "apenas mezclables". En el lado de los "vivos" están los 3manifolds curvados no positivamente, mientras que los 3manifolds curvados no positivamente están en el lado de los "muertos". Por lo que yo sé, se sabe que esta dicotomía (¿diotomía y media dicotomía?) se mantiene para todos los casos excepto para los 3manifolds cerrados orientados primos con descomposición JSJ no trivial con al menos una componente hiperbólica.

Answer 2

Existe una técnica en la teoría de la homotopía llamada "mezcla de Zabrodsky". Se puede construir, por ejemplo, un complejo CW finito $X$ con las siguientes propiedades:

1. $X$ es un $H$ -es decir, tiene un mapa de multiplicación $X\times X \to X$ que es asociativo y unital hasta la homotopía.
2. En $2$ -localización de $X$ es equivalente al $2$ -localización del grupo de Lie $Sp(2)$ (como $H$ -espacio).
3. En $3$ -localización de $X$ es equivalente al $3$ -localización de $S^3\times S^7$ (como $H$ -espacio).

Éste es sólo un ejemplo del procedimiento general de empalme conocido $H$ -a diferentes números primos para obtener un ejemplo exótico de un $H$ -espacio. Esto se describe muy vívidamente en la p. 79 de Infinite Loop Spaces de Adams.

Answer 3

Los automorfismos exteriores de grupos libres tienen una naturaleza quimérica, algo así como clases cartográficas de superficies pero con piezas más raras y puntos de sutura más extraños. Las piezas son ``estratos de mapas relativos de vías de tren'', y son en cierto modo análogas a las subsuperficies de la descomposición de Thurston de una clase de mapas, pero los estratos pueden desbordarse e interactuar entre sí de formas que las subsuperficies no pueden.

Por ejemplo, se pueden tener dos estratos diferentes de crecimiento exponencial, que como en la situación de superficie corresponden a dos laminaciones diferentes de estiramiento exponencial cada una con una hoja densa, pero una de esas laminaciones contiene a la otra como sublaminación.

También se puede tener un estrato de crecimiento exponencial y un estrato fijo --- este último análogo a una subsuperficie en la que la clase cartográfica es la identidad --- pero la laminación correspondiente al estrato de crecimiento exponencial garabatea todo el estrato fijo, llenándolo de basura.

Y luego están los estratos de crecimiento lineal y polinómico. Un estrato lineal se extiende sobre un estrato fijo, un estrato cuadrático se extiende sobre un estrato lineal, etc. Y por último, pero no menos importante, están los estratos de crecimiento no exponencial que se derraman sobre estratos de crecimiento exponencial; todavía no puedo decidir si crecen o no crecen bajo la iteración del automorfismo exterior.

Answer 4

Teoría de índices para subfactores. Dada una inclusión de subfactores $N \subseteq M$ existe un índice $[M:N]$ que a priori es sólo un número real positivo. Vaughan Jones demostró que el índice está limitado en los valores que puede tomar: puede ser cualquier número real $\geq 4$ o puede ser de la forma $4\cos^2(\pi/n)$ para algunos $n \ge 3$ .