¿Cuáles son algunos ejemplos de "quimeras" en matemáticas?

Question

El mejor ejemplo que se me ocurre en este momento es el sistema numérico surrealista de Conway, que combina el comportamiento 2-ádico en-lo-pequeño con $\infty$ -comportamiento radical en los grandes. El elemento más sencillo de un subconjunto de enteros positivos (o negativos) es el más cercano a 0 con respecto a la norma arquimediana, mientras que el racional diádico subrealmente más sencillo en un subintervalo de (0,1) (o más generalmente $(n,n+1)$ para cualquier número entero $n$ ) es el más cercano a 0 con respecto a la norma 2-ádica (es decir, la de menor denominador).

Esta quimericidad también aparece de forma muy concreta en la teoría de las cuerdas de Hackenbush: el valor de una cadena se obtiene leyendo la primera parte de la cadena como la representación unaria de un número entero y el resto de la cadena como la representación binaria de un número entre 0 y 1 y sumando los dos.

Me cuesta decir exactamente lo que entiendo por quimericidad en general, pero algunos no-ejemplos pueden transmitir un mejor sentido de lo que no quiero decir con el término.

Un sistema numérico formado por los reales positivos y los enteros negativos sería sería quimérico, pero como no surge de forma natural (que yo sepa), no cumple los requisitos.

Del mismo modo, el mapa continuo de $\bf{C}$ a $\bf{C}$ que envía $x+iy$ a $x+i|y|$ es quimérico (se hace una función holomorfa y una función holomorfa conjugada cosidas juntas en este Fr conjugada de esta manera tan Frankenstein), por lo que esto podría calificarse si alguna vez surgiera de forma natural, pero nunca he visto nada parecido.

Las geometrías no euclidianas tienen comportamientos diferentes en lo grande y en lo pequeño, pero los dos comportamientos no me parecen realmente incompatibles (sobre todo porque es posible transición continua entre geometrías de curvatura distinta de cero y de curvatura cero).

Una fuente de ejemplos de quimeras podría ser la física, ya que cualquier Teoría del Todo tendría que parecerse a la relatividad general en lo grande y a la teoría cuántica en lo y la teoría cuántica en lo pequeño, y esta brecha es muy difícil de salvar. Pero quizá haya otras quimeras matemáticas con una génesis puramente matemática.

Véase también mi post complementario ¿De dónde proceden las cifras surrealistas y qué significan? .

Answer 1

En sistema físico quimérico es sin duda el cadena heterótica . Dos sistemas físicos diferentes que pueden injertarse juntos en un sistema físico debido a algunos accidentes numéricos que relacionan dos grupos de Lie diferentes. Son sistemas muy diferentes. Uno es bosónico, el otro es supersimétrico. Ni siquiera viven en las mismas dimensiones.

Answer 2

La (supuesta) complejidad de la informática inmanentes me parece quimérico. Aunque la definición del determinante $\sum_\sigma\mathop{\mathrm{sgn}}(\sigma)\prod_ia_{i,\sigma(i)}$ y permanente $\sum_\sigma\prod_ia_{i,\sigma(i)}$ de una matriz $A=(a_{ij})$ parecen tan similares (además, ambos son polinomios en las entradas de esa matriz), el determinante puede calcularse eficazmente por cualquier escolar mientras la permanente muy duro aunque permitamos que las entradas estén en $\{0,1\}$ sólo.

Answer 3

He mirado las distintas preguntas de ejemplo de MO y no he identificado una quimera clara. Una posible respuesta tal vez para ayudar a aclarar el término "quimera matemática" es el conjunto de números cardinales como construido a partir de cardinales sucesores (que de alguna manera se asemeja a los enteros positivos) y luego 0 y los cardinales límite que parecen una parte de un animal diferente. Jim ¿se parece remotamente a lo que has preguntado?

Answer 4

"Me resulta difícil decir exactamente lo que quiero decir con quimericidad en general, pero algunos no-ejemplos pueden transmitir un mejor sentido de lo que no quiero decir con el término.

"Un sistema numérico formado por los reales positivos y los enteros negativos sería quimérico, pero como no surge de forma natural (que yo sepa), no cumple los requisitos."

Eso me recuerda un poco al hecho de que un Distribución de Wishart avec $n$ grados de libertad en $p\times p$ matrices simétricas no negativas-definidas existe precisamente si $n \in \lbrace 0, \dots , p-1 \rbrace \cup (p-1,\infty)$ . La suma de dos $p\times p$ matrices aleatorias independientes distribuidas por Wishart con grados de libertad respectivos $n_1$ y $n_2$ tiene una distribución Wishart con $n_1+n_2$ grados de libertad, por lo que la operación de adición en este conjunto de aspecto algo impar importa.

Answer 5

En mecánica cuántica, el conjunto de energías posibles para un sistema de dos partículas que se atraen, por ejemplo un electrón y un protón, consta de una parte discreta (los estados ligados) y otra continua (los estados no ligados).

Se trata, pues, de un ejemplo bastante "natural". Para hacerlo más "matemático" se puede expresar como un problema de valores propios.