¿Cuáles son algunos ejemplos de "quimeras" en matemáticas?

Question

El mejor ejemplo que se me ocurre en este momento es el sistema numérico surrealista de Conway, que combina el comportamiento 2-ádico en-lo-pequeño con $\infty$ -comportamiento radical en los grandes. El elemento más sencillo de un subconjunto de enteros positivos (o negativos) es el más cercano a 0 con respecto a la norma arquimediana, mientras que el racional diádico subrealmente más sencillo en un subintervalo de (0,1) (o más generalmente $(n,n+1)$ para cualquier número entero $n$ ) es el más cercano a 0 con respecto a la norma 2-ádica (es decir, la de menor denominador).

Esta quimericidad también aparece de forma muy concreta en la teoría de las cuerdas de Hackenbush: el valor de una cadena se obtiene leyendo la primera parte de la cadena como la representación unaria de un número entero y el resto de la cadena como la representación binaria de un número entre 0 y 1 y sumando los dos.

Me cuesta decir exactamente lo que entiendo por quimericidad en general, pero algunos no-ejemplos pueden transmitir un mejor sentido de lo que no quiero decir con el término.

Un sistema numérico formado por los reales positivos y los enteros negativos sería sería quimérico, pero como no surge de forma natural (que yo sepa), no cumple los requisitos.

Del mismo modo, el mapa continuo de $\bf{C}$ a $\bf{C}$ que envía $x+iy$ a $x+i|y|$ es quimérico (se hace una función holomorfa y una función holomorfa conjugada cosidas juntas en este Fr conjugada de esta manera tan Frankenstein), por lo que esto podría calificarse si alguna vez surgiera de forma natural, pero nunca he visto nada parecido.

Las geometrías no euclidianas tienen comportamientos diferentes en lo grande y en lo pequeño, pero los dos comportamientos no me parecen realmente incompatibles (sobre todo porque es posible transición continua entre geometrías de curvatura distinta de cero y de curvatura cero).

Una fuente de ejemplos de quimeras podría ser la física, ya que cualquier Teoría del Todo tendría que parecerse a la relatividad general en lo grande y a la teoría cuántica en lo y la teoría cuántica en lo pequeño, y esta brecha es muy difícil de salvar. Pero quizá haya otras quimeras matemáticas con una génesis puramente matemática.

Véase también mi post complementario ¿De dónde proceden las cifras surrealistas y qué significan? .

Answer 1

El objeto matemático más quimérico que conozco es el Avión Moulton . Sus "puntos" son puntos ordinarios del plano $\mathbb{R}^2$ pero sus "líneas" son una quimera, consisten en líneas ordinarias de pendiente no negativa, y doblado líneas de pendiente negativa cuya pendiente se duplica al cruzar la $y$ -Eje.

Este monstruo es el ejemplo estándar de un plano proyectivo en el que el teorema de Desargues no se cumple.

Answer 2

Propongo $$f(x)=\begin{cases} e^{-\frac 1x} \text{ for } x> 0\\\ 0 \text{ else.} \end{cases}$$ que pueden utilizarse para construir particiones concretas de la unidad.

Answer 3

Creo que los propios campos p-ádicos son algo quiméricos. Aunque sé que no es así, nunca puedo evitar del todo la tendencia a pensar que tienen característica p, en lugar de cero. De hecho, acabo de oír a un teórico de los números referirse a ellos como de "característica mixta", lo que significa que aunque $\mathbb{Z}_p$ tiene característica cero, su campo de residuos es $\mathbb{F}_p$ tiene característica p. Entiendo que esto permite pasar información de los grupos de Galois de campos finitos (cuyos elementos se pueden identificar explícitamente usando mapas de Frobenius que sólo tienen sentido en característica positiva) a grupos de Galois de campos locales, y de ahí a grupos de Galois de campos globales.

Otros argumentos extraños de salto de características incluyen la prueba de Ax del teorema de Ax-Grothendieck (un mapa polinómico inyectivo es biyectivo), que se reduce a variedades sobre campos finitos mediante un argumento lógico de compacidad. Está la prueba BBD (Beilinson-Bernstein-Deligne, secretamente más Gabber) del Teorema de la Descomposición, que utilizaba pesos de tramas l-ádicas en esquemas sobre campos finitos para demostrar un teorema verdadero sólo en variedades complejas. Y he oído que Mori hizo... algo... utilizando un argumento de este tipo, pero ¿quizá alguien más pueda decirme qué fue?

Básicamente, aunque sólo conozco un puñado de hechos en esta línea, creo que se puede encontrar todo un zoológico de quimeras finito-características.

Answer 4

Algunos de los trabajos de Henri Darmon sobre los puntos de Stark-Heegner me parecen quiméricos, ya que incluyen funciones en dos variables analíticas en las que una variable es analítica compleja y la otra es analítica p-ádica.

Answer 5

Los grupos simples finitos, al menos en nuestro nivel actual de comprensión, son bastante quiméricos, en el sentido de que tenemos cuatro "cabezas" diferentes para esta bestia:

• Los grupos cíclicos finitos de orden primo;
• Los grupos alternos;
• Los grupos simples finitos de tipo Lie; y
• Los grupos esporádicos.

Aunque se pueden unificar parcialmente los pares de estas cabezas (por ejemplo, considerando el grupo alterno como el grupo lineal especial sobre el "campo de un elemento", sea lo que sea lo que eso signifique), creo que es justo decir que aún no tenemos una comprensión real de por qué la respuesta a un problema de clasificación matemática tan básico viene en tantas piezas disjuntas.