¿Existe un polinomio

Question

Pregunté esta pregunta en MathStackExchange en abril, y recibió más de 30 upvotes, pero no se ofreció ninguna respuesta incluso después de una recompensa. Lo vuelvo a publicar aquí con la esperanza de que alguien pueda responderlo.

Problema. ¿Existe un polinomio de dos variables $P(x, y)$ con coeficientes enteros tales que un entero positivo $n$ est pas un cuadrado perfecto sólo si hay un par $(x, y)$ de enteros positivos tales que $P(x, y)=n$ ?

Contexto. La respuesta es positiva para polinomios en 3 variables. Esto apareció como problema en la prueba de selección del equipo de EE UU en 2013. Resulta que el polinomio $P(x, y, z)=z^2\cdot (x^2-zy^2-1)^2+z$ goza de la siguiente propiedad: un número entero positivo $n$ no es un cuadrado perfecto si y sólo si $P(x, y, z)=n$ tiene solución en enteros positivos $(x, y, z)\in \mathbb{N}^{3}$ . Esta construcción funciona bien gracias a la ecuación de Pell. Si $n$ no es un cuadrado perfecto, entonces la ecuación de Pell $x^2-ny^2=1$ tiene solución en enteros positivos $(x_0, y_0)$ por lo que obtenemos $P(x_0, y_0, n) = n$ . Por el contrario, si $P(x, y, z)=n$ se puede demostrar que $n$ no puede ser un cuadrado perfecto porque $n=z^2(x^2-zy^2-1)^2+z$ entre dos cuadrados perfectos consecutivos: $$ (z(x^2-zy^2-1))^2 < n < (z(|x^2-zy^2-1|+1)^2 $$

Observación. Está claro que no existe ningún polinomio de una sola variable $P(x)$ que podría alcanzar la propiedad deseada. De hecho, hay un número arbitrario de no cuadrados consecutivos, y un polinomio $P(x)$ de grado $n>1$ no puede emitir una lista consecutiva de $n+1$ números. Esta última afirmación es en sí misma un buen problema; para una solución, véase el Ejemplo 2.24 en la página 11 de Teoría de Números: Conceptos y problemas por Andreescu, Dospinescu y Mushkarov.

Answer 1

Este es un comentario largo que puede ser útil:

Tratar $a$ como parámetro, y tratar $x$ como variable. La expresión diofantina $$ \exists x\ ((x^2<a) \land (a<(x+1)^2)) $$ define $a$ como un no cuadrado. Añadiendo dos variables más, podemos eliminar las desigualdades. Para ello, dejemos que $$ D(a,x,y,z):=(x^2+y-a)^2+(a+z-(x+1)^2)^2. $$ Entonces $a$ es un no cuadrado exactamente cuando hay enteros positivos $x,y,z$ tal que $D(a,x,y,z)=0$ . Ahora, para el nuevo polinomio $$ E(w,x,y,z):=w(1-D(w,x,y,z)^2), $$ sus salidas positivas (en entradas positivas) son exactamente los no cuadrados positivos (aunque posiblemente haya salidas no positivas).

Podemos reducir el número de variables necesarias para definir $D$ de tres a dos utilizando una idea de Carl Schildkraut (tomada de un comentario a la versión MSE de la pregunta). Utilice $$ D(a,x,y):=((x+y-1)^2+x-a)\cdot ((x+y-1)^2+(x+y-1)+x-a) $$ en su lugar. Existe un $3$ -variable $E$ .

Para responder plenamente a la pregunta bastaría con encontrar un $1$ -versión variable de $D$ . La esperanza aquí es que podamos trasladar de algún modo el casi fallo de Peter Taylor a esta situación, en la que las consideraciones fraccionarias pierden relevancia.