Recientemente he estado leyendo "Cómo enseñar mecánica cuántica a tu perro", de Chad Orzel. En el capítulo 3, dice, si lo he entendido bien, que los electrones sólo pueden existir en cuantos específicos, es decir, que sólo pueden estar en ciertas regiones, y realizarán un salto cuántico sobre regiones que no sean niveles de energía estables. Sin embargo, también he visto cosas en Internet sobre que los electrones pueden estar "en cualquier parte" y que cuanto más lejos estén del núcleo, menos probabilidad tienen de estar allí. ¿La probabilidad de que un electrón esté en algún sitio es cero? ¿Pueden los electrones estar en cualquier parte? Y si es así, ¿cómo y cuál es la necesidad de un salto cuántico?
Respuestas
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Buck
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El fotón más o menos tiene razón, las distribuciones de probabilidad de los orbitales (incluso en el estado de estar ligados en un átomo) se extienden infinitamente lejos radialmente, aunque con probabilidad cada vez más decreciente. Creo que la confusión viene del hecho de que hay ciertas "regiones", planos y otras superficies 2D en realidad, bastante cerca del átomo, donde hay absolutamente 0 probabilidad. Estos son los nodos a los que se refiere arnav009. A continuación se muestra un gráfico de las distribuciones radiales de probabilidad de los orbitales s del hidrógeno para estados de energía crecientes (cuantificados) n = 1, 2, 3...
El eje horizontal es la distancia radial desde el núcleo, el eje vertical es la densidad de probabilidad de encontrar el electrón a esa distancia radial. Dado que la distribución es continua, para hallar la probabilidad de que un electrón se encuentre dentro de una determinada región, como por ejemplo entre r = 1 y r = 1,1 Å del núcleo, la densidad de probabilidad $\psi^2$ debe integrarse en una región $\Delta r = r₂ - r₁$ . Esto significa que la probabilidad de encontrar el electrón en cualquier específico y no dentro de una región, es siempre 0. Esto es como preguntar cuál es la probabilidad de que una aguja dejada caer sobre papel milimetrado dé en una coordenada concreta: Dado que las ubicaciones son infinitamente pequeñas, la probabilidad de golpear una ubicación específica es indistinguible de 0.
Así que para responder a "¿Existen áreas con probabilidad cero?" La respuesta es que hay volúmenes infinitamente pequeños (planos nodales), donde de todas formas habría una probabilidad vanamente pequeña. Sin embargo hay exactamente 0 densidad de probabilidad en estos nodos, y afectan a la forma general de la función de onda.
Observará que en el eje vertical hay un factor adicional de $4\pi r^2$ Esto se debe a que el área de la envoltura en un radio dado es mayor cuanto más lejos se está del núcleo. Así, si $\psi^2$ te da la densidad de probabilidad de estar en un lugar concreto del espacio, entonces $4\pi r^2\psi^2$ da la densidad de probabilidad de estar en cualquier parte de una envoltura esférica a un radio específico del núcleo, y la probabilidad no nula de estar en un volumen finito de una envoltura de anchura $dr$ est $\int 4\pi r^2\psi^2 dr$ .
Obsérvese que todas las distribuciones de probabilidad disminuyen hacia $0$ como $r \rightarrow +\infty $ La probabilidad de encontrar el electrón a 1 año luz de distancia es muy pequeña, pero no nula, y es nula cuando las distribuciones tocan el eje de abscisas. El número de nodos (lugares con probabilidad 0 donde $\psi$ toca el eje x) es el número cuántico de principio $n$ y aumenta con el incremento de energía de los orbitales.
Los orbitales s sólo tienen nodos esféricos. Los orbitales p, d y superiores también tienen planos nodales (regiones de probabilidad 0) que atraviesan el núcleo denominados nodos angulares o azimutales. El número total de nodos de un orbital es uno menos que el número cuántico de principio: $n-1$ y el número cuántico del momento angular $\ell = 0, 1, 2...$ para $s, p, d,...$ da el número de nodos angulares, por lo que el número de nodos radiales es $n-\ell$ .
A continuación pueden verse los nodos radiales dentro de los orbitales s esféricos correlacionados con el diagrama de densidad de probabilidad radial. Fuente 
Para el hidrógeno y para los átomos llamados "hidrógenos", que sólo tienen un electrón, la energía de los orbitales depende únicamente de $n$ por lo que no hay diferencia entre la energía de $2s$ y $2p$ orbitales. En los átomos con múltiples electrones, los otros electrones protegen al núcleo entre sí y esto cambia las energías relativas de las subcáscaras (ej. $2s$ vs $2p$ ).
Puede ver aquí orbitales de diferentes $\ell$ , $p, d, f...$ colocados uno encima del otro. Se trata de un corte radial en el ángulo de máxima densidad de electrones (perpendicular a los nodos angulares/azimutales). Obsérvese que $\ell$ significa menos nodos radiales (los nodos azimutales son invisibles aquí), y que el primer nodo radial está más cerca del núcleo. 
He aquí una absolutamente fantástico sitio donde puede ver contornos de probabilidad y modelos 3D de muchos orbitales atómicos (tanto hidrogénicos como hibridizados) y moleculares. Aquí hay un ejemplo de orbital 3p, donde se puede ver tanto el plano nodal angular a través del núcleo, como el nodo radial que hace que cada nota sea una nota dentro de otra nota, con los colores azul y verde denotando las diferentes fases separadas por una superficie nodal.
Gran pregunta, ¡me encantan estas cosas!
En el capítulo 3 dice, si lo he entendido bien, que los electrones sólo pueden existir en cuantos específicos, es decir, sólo pueden estar en determinadas regiones, y realizarán un salto cuántico sobre regiones que no sean niveles de energía estables.
Los electrones (que están confinados por un pozo de potencial, como cuando forman parte de un átomo) están efectivamente limitados a ciertos niveles de energía cuantizados. Y sólo podrán ganar o perder energía en cantidades cuantizadas.
Pero no importa el nivel de energía, el electrón no está realmente restringido en qué posición del espacio pueda encontrarse. Es decir, no hay "regiones" del espacio donde no pueda encontrarse. Hay, dependiendo del nivel de energía, regiones del espacio donde es espectacularmente improbable encontrar el electrón (como si pudieras coger tantos electrones como hayan existido en el universo visible, ponerlos en este estado, y luego observar su posición y probablemente no encontrarías ninguno en ese lugar). Pero, en principio, sigue siendo posible encontrar el electrón en cualquier lugar del espacio.
Por ejemplo, si tienes un electrón en un átomo de hidrógeno, excitado a uno de los estados de energía "2p", y observas su ubicación, lo más probable es que lo encuentres en los lugares indicados por estos dibujos:
Es muy poco probable encontrar un electrón en el 2p y (por ejemplo) situado lejos (un nanómetro más o menos) a lo largo del eje z (y a un picómetro del plano xz). Pero no es del todo imposible. En realidad, como se ha señalado en otra respuesta, existe un lugar geométrico de puntos en el plano xz, denominado nodo de la función de onda, donde la probabilidad de encontrar el electrón es realmente 0.
¿cuál es la necesidad de un salto cuántico?
El salto cuántico es un salto en la energía del electrón, no en su ubicación en el espacio.
ZeroTheHero
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En es posible tener sistemas en los que el electrón tiene exactamente ninguna probabilidad de ser encontrado: en un potencial infinitamente profundo de anchura finita $a$ el electrón no puede encontrarse fuera del pozo. Es cierto que no es un ejemplo representativo.
La probabilidad de encontrarse en una pequeña región de tamaño $dx$ est $\Psi^*(x,t)\Psi(x,t)dx$ donde $\Psi(x,t)$ es la función de onda que describe este electrón (ciñéndonos a 1d a efectos de esta discusión). Así, la función $\Psi(x,t)$ debe ser estrictamente $0$ en toda la región de tamaño $dx$ para que la probabilidad de encontrar el electrón en esa región sea $0$ . La mayoría de las funciones $\Psi(x,t)$ no son $0$ a lo largo de un intervalo finito, aunque se pueden "fabricar" sistemas en los que esto podría ocurrir ( v.g. disponiendo infinitos pozos uno al lado del otro).
En los casos más comunes, como el átomo de hidrógeno o el oscilador armónico, la probabilidad de encontrar un electrón no es $0$ en un intervalo finito (por pequeño que sea) excepto en el infinito.
Nota son situaciones que han $0$ probabilidades. En Efecto Hong-Ou-Mandel es un ejemplo de interferencia destructiva de dos fotones idénticos que impide estrictamente -en las condiciones adecuadas- que dos fotones salgan por canales de salida diferentes de un interferómetro: sólo son posibles las situaciones en las que ambos fotones salen por la misma salida. Sin embargo, no se trata de un efecto de partícula única.
Joe
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Depende completamente de la función de onda. En el espacio libre no existe la probabilidad cero. En el orbital 1s de un átomo todavía no hay probabilidad cero. Pero en niveles de energia mas altos como el orbital 2s tiene 1 zona de probabilidad cero llamada nodo. Otros orbitales superiores tienen aún más nodos
