Si $(a_n)$ es creciente y $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_1\dotsb a_n}=+\infty$ $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1{a_n}$ es irracional

Question

$\{a_n\}$ es estrictamente creciente secuencia de enteros positivos tales que $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_1a_2\dotsb a_n}=+\infty$$ a continuación, $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1{a_n}$ es un número irracional

la prueba por contradicción? $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1{a_n}=\frac pq$,

Trato también de la serie de $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x^n}{a_n}$, sin ningún progreso. La clásica prueba de irracional de $e$ el uso de la fórmula de Taylor

El problema fue propuesto por José Luis Díaz-Barrero. Si $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{ a_n}=+\infty$, $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1{a_n}$ es irracional, también?

Muchas gracias!

Answer 1

Supongamos que hacia contradicción que $$ \sum_{n=1}^\infty\frac1{a_n}=\frac pq \quad \quad p, q \in \mathbb{Z}^+ $$ Deje $M = 2qe$. A continuación, elija $N$ tal que para $n > N$, $a_{n} > M a_1 a_2 \ldots a_{n-1}$. Multiplicando el anterior por $q a_1 a_2 \ldots a_N$, tenemos $$ pa_1 a_2 \ldots a_N = \sum_{n=1}^N q a_1 a_2 \ldots a_{n-1} a_{n+1} \ldots a_N + \sum_{n=N+1}^\infty \frac{qa_1a_2\ldots a_N}{a_n} $$ lo que implica $$ \sum_{n=N+1}^\infty\frac{qa_1a_2\ldots a_N}{a_n} \in \mathbb{Z} $$ Pero, a continuación, $$ \frac{qa_1a_2\ldots a_N}{a_n} < \frac{q a_1 a_2 \ldots a_N}{M a_1 a_2 \ldots a_{n-1}} $$ así \begin{align*} 0 &< \sum_{n=N+1}^\infty\frac{qa_1a_2\ldots a_N}{a_n} \\ &< \sum_{n=N+1}^\infty \frac{q}{Ma_{N+1}a_{N+2} \ldots a_{n-1}} \\ &< \frac{q}{M} \sum_{n=N+1}^\infty \frac{1}{(n - N - 1)!} \quad \quad \text{(since } a_n \text{ is increasing)} \\ &= \frac{q}{M}e = \frac{1}{2} \\ \end{align*} que es una contradicción, como no hay ningún número entero entre $0$$\frac12$.