Si $x$ , $y$ , $x+y$ y $x-y$ son números primos, ¿cuál es su suma?

Question

Supongamos que $x$ , $y$ , $xy$ y $x+y$ son todos números primos positivos. ¿Cuál es la suma de los cuatro números?

Bueno, adiviné algunos valores y obtuve la respuesta. $x=5$ , $y=2$ , $x-y=3$ , $x+y=7$ . Todos los números son primos y la respuesta es $17$ . Supongamos que si los números fueran muy grandes, no habría obtenido la respuesta. ¿Conoces alguna forma de encontrar la respuesta?

Answer 1

Tenga en cuenta que $x>y$ ya que $x-y$ es positivo. Dado que $x$ y $y$ son ambos primos, esto significa que $x$ debe ser mayor que $2$ y, por tanto, impar. Si $y$ eran impar, $x+y$ sería un número par mayor que $2$ y, por tanto, no primo. Por lo tanto, $y$ debe ser par, es decir, $y=2$ .

Ahora queremos un impar prime $x$ tal que $x-2$ y $x+2$ son ambos primos. En otras palabras, queremos tres números Impares consecutivos que sean todos primos. Pero uno de $x-2,x$ y $x+2$ es divisible por $3$ por lo que para ser un primo debe sea $3$ . Está claro que hay que $x-2$ el menor de los tres números, y tenemos nuestra única solución: $x=5$ y $y=2$ y $x+y+(x+y)+(x-y)=3x+y=17$ .

Answer 2

Claramente $x>y$ ya que de lo contrario $x-y<0$ y por lo tanto no es un primo.

Ahora que $x>y\ge2$ , $x$ debe ser impar. Ahora $y$ debe ser par (es decir, 2) ya que en caso contrario $x+y$ es par y no primo.

El único conjunto $\{x-2,x,x+2\}$ que consiste en primos ocurre cuando $x=5$ . Para comprobarlo, observe que $\{x-2,x,x+2\}$ contiene exactamente $1$ número que es múltiplo de $3$ por lo que el múltiplo de $3$ en el conjunto debe ser $3$ para ser primo.

Answer 3

Tenga en cuenta que uno de $x$ y $y$ tiene que ser par, como si $x$ y $y$ son ambos impar, $x+y$ y $x-y$ son pares, y sólo hay un primo positivo par. Como $x - y > 0$ tenemos $x > y$ y, por tanto, como $2$ es el único primo par y el primo más pequeño, tenemos $y = 2$ . No $x-2$ , $x$ y $x+2$ son primos. Pero uno de ellos es divisible por $3$ : Si $x$ tiene resto 1 módulo 3, $x+2$ es divisible por 3, y si el resto es 2, $x-2$ es. Así que, como $x-2$ es el menor de los tres números, debemos tener $x = 5$ (sólo hay un primo positivo divisible por 3).

Answer 4

Sugerencia $\rm \ \ x,\,y,\,x\pm y\,$ par-coprima $\rm \iff x,y$ coprimo, paridad opuesta, $ $ es decir $\,\rm(x,y)=1=(x\!-\!y,2)$

Prueba $\rm\ \, (x,x\pm y) = (x,y) = (x\pm y,y)\:$ por lo que se reduce a: $ $ $\rm(x\!-\!y,x\!+\!y)=1$ $\!\iff\!$ $\rm\: (x\!-\!y,2)=1,\:$ asumiendo $\rm\:(x,y)=1.\:$ Entonces $\rm\ (x\!-\!y,x\!+\!y)=(x\!-\!y,\color{#C00}2\color{#0A0}y)=(x\!-\!y,\color{#C00}2),\ $ por $\rm\:(x\!-\!y,\color{#0A0}y)=(x,y)=1.$

Answer 5

Si $x,y > 1$ son ambas impar, entonces $x+y > 2$ es par, una contradicción.

Entonces $y = 2$ y por inspección $x=5$ como $x = 3$ resulta en $x-y = 1$ .

O, tenemos que $x-2,x,x+2$ son todos primos, lo que significa que tenemos tres enteros consecutivos modulo $3$ que sólo se cumple con el triple $(3,5,7) \implies y = 5$ .