Parametrización del círculo unitario sin seno ni coseno

Question

¿Existe alguna forma de suave y periódico parametrización $\gamma\colon\mathbb R\to S^1$ del círculo unitario $S^1$ en $\mathbb R^2$ que hace no de alguna manera implican seno/coseno o (lo que me parece equivalente) la función exponencial compleja --- y ni funciones relacionadas o derivadas de ellas. Preferiblemente, si $\tau > 0$ es el período de $\gamma$ la restricción $\gamma\colon[0,\tau)\to S^1$ debe ser un biyección .

Answer 1

Combinaré tres partes.

• Empecemos con la función de la parte fraccionaria, y adaptémosla para que mapee $\mathbb R$ a $[-1,1)$ : $$f_1:t\mapsto 2(t-\lfloor t\rfloor)-1$$ Esto garantiza un periodo de $\tau=1$ .
• La siguiente parte es una parametrización racional del semicírculo, que mapea $[-1,1)$ a la mitad derecha de un círculo de radio $2$ y centro $(-1,0)$ : $$f_2:t\mapsto\frac1{1+t^2}\begin{pmatrix}1-3t^2\\4t\end{pmatrix}$$
• Luego viene una proyección estereográfica al círculo unitario: $$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto\frac1{x^2+y^2+2x+1}\begin{pmatrix}x^2-y^2+2x+1\\2y(x+1)\end{pmatrix}$$

Combine todo esto, utilice $t':=t-\lfloor t\rfloor$ como abreviatura, y se obtiene

$$ \gamma:t\mapsto\frac1 {4t'^4 - 8t'^3 + 8t'^2 - 4t' + 1} \begin{pmatrix} 4t'^4 - 8t'^3 + 4t' - 1 \\ -8t'^3 + 12t'^2 - 4t' \end{pmatrix} $$

Para $t'=0$ y $t'=1$ los valores de las funciones coinciden en $(-1,0)$ por lo que es continua. Las primeras derivadas coinciden también en $(0,-4)$ así es $C^1$ también. Por desgracia, la segunda derivada $(16,\pm8)$ es diferente para ambos valores, por lo que la función no es $C^2$ y, por tanto, no es suave. Al menos no en el sentido estricto de la palabra. Pero tal vez $C^1$ ¿es suficiente para ti?

El círculo formado por esta función es perfectamente suave, e incluso se obtiene la biyección que pedías. La representación racional en combinación con la función suelo está ciertamente lejos de cualquier función trigonométrica o exponencial compleja.

Me gustaría adivina que si se requiere que la función sea no sólo suave sino analítica, entonces cualquier función posible se reduce a $\sin(g(t))$ y $\cos(g(t))$ donde $g$ es una función analítica. No tengo una prueba de esto, sólo algunas ideas aproximadas. Así que en ese caso la pregunta "¿hay parametrizaciones fundamentalmente diferentes?" se respondería "no". Esto aún deja espacio para funciones no analíticas pero suaves.