En lugar de resolver el problema por ti, esta respuesta te da las herramientas que necesitas para solucionarlo.
$\newcommand{\cc}{\operatorname{\Delta}}$ Su problema pertenece a una clase más amplia de problemas de la teoría combinatoria de juegos. Supongamos que $G_1,\dots,G_n$ son juegos combinatorios (es decir, con información perfecta, los jugadores se turnan, las partidas terminan con certeza y el primer jugador que no mueve pierde). Defina el compuesto conjuntivo continuado $G_1\cc G_2 \cc \dots \cc G_n$ ser el juego en el que $G_1,\dots,G_n$ se juegan simultáneamente, y cada jugador mueve en todos los componentes que aún no han terminado. En su problema, si dejamos que $T_i$ denotan el juego jugado en una sola torre, entonces su juego es de la forma $T_1 \cc \dots \cc T_n$ . Esta es la notación utilizada por Conway en Sobre números y juegos . Conway derivó la regla general para resolver el $n$ -doble conjunción continuada $G_1\cc \dots\cc G_n$ utilizando la información de los juegos componentes.
He aquí la teoría general de los compuestos conjuntivos continuados. Para resolver compuestos conjuntistas continuos, necesitamos calcular cierta información sobre cada componente conocida como el número de espera . Imagina dos jugadores jugando a un juego combinatorio $G$ con el siguiente incentivo adicional; si el juego dura $k$ turnos, entonces el perdedor tiene que pagar al ganador $k$ dólares. Esto significa que un jugador que pueda ganar la partida intentará prolongarla, y un jugador que esté en una posición perdedora intentará que la partida termine rápidamente. El número de suspense, $S(G)$ es el número de turnos que durará la partida si se juega de forma óptima con este incentivo. Se puede calcular inductivamente de la siguiente manera:
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Si $G$ no tiene opciones, entonces el número de suspenso es cero.
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Si alguna opción de $G$ tiene un número suspenso par, entonces $S(G)$ es uno más que el máximo incluso suspenso número de $G$ 's opciones.
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Si todas las opciones de $G$ tienen un número de suspenso impar (y hay al menos una opción impar), entonces $S(G)$ es uno más que el mínimo impar suspenso número de $G$ 's opciones.
El número de suspenso es útil por dos razones. En primer lugar, da el resultado de un juego; una posición está ganando cuando su número de suspense es impar, y perdiendo cuando su número de suspense es par. En segundo lugar, el número suspensivo juega muy bien con la operación de conjunción continua:
Regla: El número de suspenso de $G_1 \cc \dots \cc G_n$ es el máximo de los números suspensivos de los componentes.
Por lo tanto, puede seguir este plan de acción para resolver su problema:
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Calcula los números suspensivos para una torre de altura simple $n$ para distintos valores pequeños de $n$ . Continúe haciendo esto hasta que aparezca un patrón (con suerte).
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Demostrar que el patrón se mantiene por inducción.
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Utilice la regla aprovechar esto para dar una solución general al juego de la torre.
Este es el comienzo de la primera tarea:
Altura de la torre
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$7$
Número de suspenso
$0$
$1$
$2$
$3$
$3$
Por ejemplo, así es como se calcula que el número suspensivo de una torre de cinco alturas es $3$ . Hay dos opciones: o bien $(4,1)$ división o un $(3,2)$ partido.
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Para el $(4,1)$ split, sabemos por valores calculados previamente que los dos juegos componentes tienen números suspensivos de $3$ y $0$ . Por el regla el número de suspensos de su combinación es el máximo, $3$ .
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Para el $(3,2)$ split, sabemos por valores calculados previamente que los dos juegos componentes tienen números suspensivos de $2$ y $1$ . Por el regla el número de suspensos de su combinación es el máximo, $2$ .
Dado que hay al menos una opción con suspenso par, el número de suspenso es uno más que la mayor opción con suspenso par, que es $1+2$ que es $3$ como se afirma.
