Existen secuencias no idénticas a cero con las propiedades requeridas.
No conozco ninguna descripción sencilla, pero puedo esbozar una construcción que genere tales secuencias. Primero, permítanme definir un poco de notación. Si $A=(a_0,a_1,a_2,\ldots)$ y luego establecer $DA = (a_0,a_1-a_0,a_2-a_1,\ldots)$ para que $D$ y $S$ son inversos entre sí.
Escribir $S^kA_n$ para el n'º elemento de la secuencia $S^kA$ construiré una serie no nula tal que, para cada $k$ , $\vert S^kA_n\vert\le3^{-k}/n$ para todo lo que sea suficientemente grande $n$ . Así que, $S^kA$ converge a cero.
Podemos construir $A$ construyendo los segmentos iniciales de la secuencia de forma inductiva. Considere los siguientes pasos.
- Supongamos que, para algún número entero $k\ge0$ y $n_k > 0$ hemos elegido el segmento inicial $a_0,a_1,\ldots,a_{n_k}$ con la propiedad de que $\vert S^jA_{n_k}\vert\le3^{-j}/n_k$ para $j=0,1,\ldots,k$ .
- Como $\sum_{n=n_k+1}^\infty 1/n$ es divergente, podemos elegir $n_{k+1} > n_k$ para que $\sum_{n=n_k+1}^{n_{k+1}}3^{-k}/n > \vert S^{k+1}A_{n_k}\vert$ .
- Elija números reales $b_{n_k+1},b_{n_k+2},\ldots,b_{n_{k+1}}$ con $\vert b_n\vert\le 3^{-k}/n$ y $S^{k+1}A_{n_k}+\sum_{n=n_k+1}^{n_{k+1}}b_n=0$ .
- Definir $a_{n_k+1},a_{n_k+2},\ldots,a_{n_{k+1}}$ para que $S^kA_n=b_n$ para $n_k < n\le n_{k+1}$ . (Nota: La aplicación de $D^k$ nos permite expresar $a_n$ en términos de la secuencia $S^kA$ por lo que obtenemos $a_n$ como una combinación lineal del $b_n$ ).
Esta construcción está diseñada para que obtengamos $S^{k+1}A_{n_{k+1}}=0$ y, en particular, $\vert S^{k+1}A_{n_{k+1}}\vert\le 3^{-k-1}/n_{k+1}$ . También tenemos $\vert S^kA_n\vert\le 3^{-k}/n$ para $n_k\le n\le n_{k+1}$ por lo que, para $n > n_k$ Esto da como resultado $$ \begin{align} \vert S^{k-1}A_n\vert&=\vert S^kA_n- S^kA_{n-1}\vert\\ &\le 3^{-k}/n+3^{-k}/(n-1)\\ &\le 3^{-k}/n+3^{-k}2/n\\ &=3^{-(k-1)}/n. \end{align} $$ Aplicando esta desigualdad de forma iterativa con $k$ sustituido por $k-1,k-2,\ldots$ muestra que $\vert S^jA_n\vert\le 3^{-j}/n$ para todos $j\le k$ y $n_k\le n\le n_{k+1}$ . Así, podemos repetir los pasos anteriores con $k$ sustituido por $k+1$ , entonces por $k+2$ y así sucesivamente. También es posible inicializar el procedimiento para $k=0$ tomando $n_k=1$ y $a_0=1,a_1=0$ .
Esto lleva a una secuencia $A=(a_0,a_1,a_2,\ldots)$ y $n_1 < n_2 < n_3 < \cdots$ tal que $\vert S^k A_n\vert\le 3^{-k}/n$ siempre que $n\ge n_k$ . Así, para cada $k$ , $S^kA$ es una secuencia que converge a 0.
También añadiré un argumento que muestra que, si ampliamos $f(z)\equiv\exp(1/(z-1))$ como una serie de potencias, $$ f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n $$ entonces $A=\{a_0,a_1,a_2,\ldots\}$ satisface las propiedades requeridas. No puedo atribuirme todo el mérito de este argumento, ya que no es más que el seguimiento de las ideas de Respuesta de leonbloy .
La idea es que $f(z)$ es analítica en el disco $\vert z\vert < 1$ por lo que la expansión de la serie está bien definida con un radio de convergencia igual a 1. Además, $f(z)$ tiene un cero de orden infinito como $z$ enfoques 1. Más precisamente, $(z-1)^{-k}f(z)$ se extiende a una función suave en el círculo unitario $\{\vert z\vert=1\}$ . Integrar alrededor del contorno $\gamma(t)=\exp(2\pi it)$ la fórmula integral de Cauchy da $$ a_n=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma z^{-n-1}f(z)\,dz=\int_0^1\exp(-2\pi int)f(\gamma(t))\,dt. $$ Así que, $a_n$ es la serie de Fourier de la función suave $f(\gamma(t))$ y, por lo tanto, $a_n\to0$ como $n\to\infty$ .
Por último, para $k\ge0$ , $S^kA$ es la secuencia de coeficientes en la expansión en serie de potencias de $(1-z)^{-k}f(z)$ . Así, aplicando el mismo argumento anterior a $(1-z)^{-k}f(z)$ muestra que $S^kA$ converge a 0.
