convergencia de las derivadas

Question

Estoy intentando resolver la pregunta: Que $u_n$ una secuencia que converge uniformemente a $u$ donde $u_n\in C^3(\Omega)$ para cada $n$ y $\Omega$ es un subconjunto limitado de $\mathbb{R^n}$ . Supongamos que $u_n=0$ en $\partial\Omega$ . Para demostrar que $$ \displaystyle\lim_{n\rightarrow0}\int_{\Omega}|\nabla u_n|^2=\int_{\Omega}|\nabla u|^2. $$

Answer 1

Se puede suponer, sin pérdida de generalidad, que $u \equiv 0$ (si no, toma $v_n = u_n - u$ y demuestre la afirmación para $v_n$ ).

Entonces, usted quiere demostrar que $\lim_{n\to\infty}\int_\Omega |\nabla u_n|^2 = 0$ .

Utiliza la integración por partes:

$$\int_\Omega |\nabla u_n|^2 = \int_{\partial \Omega} u_n (\nabla u_n \cdot \hat n) - \int_\Omega u_n \Delta u_n$$

Ahora utiliza los hechos que $u_n = 0$ en $\partial\Omega$ que $u_n \to 0$ uniformemente, y que $u_n \in C^3$ .