Intento resolver la siguiente ecuación homogénea:
Gracias por sus consejos
$xy^3y=2(y^4+x^4)$
Creo que esto es homogéneo de orden 4.
\=> $xy^3dy/dx=2(y^4+x^4/1)$
\=> $xy^3dy=2(x^4+y^4)dx$
\=> $xy^3dy-2(x^4+y^4)dx=0$
No sé cómo continuar
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Realice la sustitución $v=y^4$ . Entonces por la regla de la cadena tenemos $v'=4y^3 y'$ . Ahora tu DE se convierte en: $$x \frac{v'}{4}=2(v+x^4)$$ Entonces se puede simplificar a: $$v'-8\frac{v}{x}=8x^3$$ Primero resolvemos la parte homogénea: $$v_h' -8\frac{v_h}{x}=0$$ Esto conduce a $v_h=c\cdot x^8$ para que $v_h'=c\cdot 8x^7$ . Esta es nuestra solución homogénea. Ahora para encontrar una solución particular suponemos que será algo como $$v_p=ax^4+bx^3+dx^2+3x+f$$ Introduciendo esto en el DE obtenemos $$(4ax^3 +3bx^2+2dx+3)-\frac{8}{x}(ax^4+bx^3+dx^2+3x+f)=8x^3$$ los únicos términos con $x^3$ en ella están los $4ax^3$ y el $-8ax^3$ . Conclusión: $-4a=8$ así que $a=-2$ . Todos los demás términos son cero. Ahora tenemos nuestra solución particular $v_p=-2x^4$ . La solución general es la suma de la solución particular y homogénea por lo que $$v_g=c\cdot x^8 -2x^4$$ Ahora backsubstitute $v=y^4$ o $y=v^{\frac{1}{4}}$ para obtener la respuesta final.
