Parábolas que aparecen en y = a mod floor(x)

Question

Sólo estaba observando la simple función

$$y=a \text{ mod }\text{floor}(x)$$

y para grandes $a$ empezaron a aparecer formas parecidas a las parábolas. He aquí, por ejemplo $a=1,500,000$ :

¿Cuál es la intuición? Debe haber algo especial en los valores de $x$ donde aparecen.

Puedes jugar con la función aquí. Pulse el botón de reproducción en $a$ para ver cómo se forman las parábolas $a$ aumenta. https://www.desmos.com/calculator/etgmlsjekm

Answer 1

¡Buena pregunta! La función floor no es particularmente relevante ya que podemos limitar nuestra atención a valores enteros de $x$ o, lo que es lo mismo, considérelo una función de $n = \lfloor x \rfloor$ . Sólo hablaré de $n$ a partir de ahora. Podemos escribir

$$a \bmod n = a - n \left\lfloor \frac{a}{n} \right\rfloor$$

para hacerse una idea de cómo cambia este valor a medida que $n$ cambios. Si $n$ incrementos a $n+1$ entonces el $n$ incrementos anteriores en $1$ pero entonces el término $\left\lfloor \frac{a}{n} \right\rfloor$ se hace más pequeño. Cuánto más pequeño depende de lo grande $a$ es relativa a $n$ . En concreto, tenemos que

$$\frac{a}{n} - \frac{a}{n+1} = \frac{a}{n(n+1)}$$

de lo que se deduce que si $a$ es pequeño en comparación con $n(n+1)$ entonces $\frac{a}{n}$ sólo cambia en una cantidad lo suficientemente pequeña como $n$ aumenta que $\left\lfloor \frac{a}{n} \right\rfloor$ pasará mucho tiempo constante; más concretamente si $a$ es pequeño en comparación con $n(n+1) \approx n^2$ . De aquí salen las líneas en el gráfico para valores pequeños de $a$ como este gráfico para $a = 50000$ :

Esperamos que las líneas empiecen a aparecer cuando $\frac{a}{n(n+1)}$ es pequeño en comparación con $1$ ; digamos que queremos $\frac{a}{n(n+1)} \approx \frac{1}{10}$ lo que da $n \approx \sqrt{10a}$ que aquí da $n \approx 700$ y esto es más o menos lo que vemos en la trama.

¿Qué ocurre cuando $a$ tiene aproximadamente el mismo tamaño que $n(n+1)$ ? En ese caso $\left\lfloor \frac{a}{n} \right\rfloor$ empieza a disminuir en $1$ a medida que incrementamos $n$ En otras palabras, se convierte en lineal, de modo que cuando se multiplica por $n$ el resultado se vuelve cuadrático. Esto se ve claramente en el gráfico de $a = 10^6$ donde hay una clara parábola única alrededor de $n = 10^3$ :

Pero las otras parábolas están apiladas unas encima de otras; ¿qué pasa con eso? Bueno, se puede ver que hay una doble parábola un poco por debajo de $n = 1400$ ; con todas estas raíces cuadradas dando vueltas se podría adivinar que en realidad está ocurriendo cerca de $n = 1414$ los primeros dígitos de $\sqrt{2}$ esto corresponde a cuando $\frac{a}{n(n+1)}$ está cerca de $\frac{1}{2}$ lo que significa que $\left\lfloor \frac{a}{n} \right\rfloor$ alternará (la mayor parte del tiempo, esperemos) entre ser constante y aumentar en $1$ a medida que aumentamos $n$ corresponde a las dos parábolas apiladas.

Las tres parábolas apiladas alrededor de $n = 1700$ corresponden a $\frac{a}{n(n+1)}$ estar cerca de $\frac{1}{3}$ ya que $\sqrt{3} = 1.732 \dots$ . En general, esperamos que $q$ parábolas apiladas cuando $\frac{a}{n(n+1)}$ se aproxima a la fracción $\frac{p}{q}$ en términos más bajos; se puede ver que esto es coherente con las cuatro parábolas apiladas alrededor de $n = 2000$ que corresponde a $\frac{a}{n(n+1)}$ estar cerca de $\frac{1}{4}$ así como las tres parábolas apiladas más débiles alrededor de $n = 1200$ que corresponde a $\frac{a}{n(n+1)}$ estar cerca de $\frac{2}{3}$ (tenemos $\sqrt{\frac{3}{2}} = 1.224 \dots$ ).

Expresando esta relación en términos de $n$ esperamos ver $q$ parábolas apiladas alrededor de $n \approx \sqrt{\frac{aq}{p}}$ donde $0 < \frac{p}{q} < 1$ es una fracción en términos mínimos, al menos para $q$ razonablemente pequeño; en el gráfico anterior podemos distinguir claramente un $q = 9$ pila, por ejemplo, alrededor de $n = 3000$ . Las parábolas se vuelven notablemente más débiles para $p > 1$ pero aún se pueden ver algunos.