Trazado de una función de densidad de probabilidad conjunta

Question

Tengo un problema en el que tengo dos variables independientes cada una con una función de densidad de probabilidad dada por:
$p(s_1) = \frac{1}{2}\sqrt{3}$ cuando $s_1\leq\sqrt{3}$
y $0$ de lo contrario

Y la función de densidad de probabilidad es la misma para otras variables.

Cuando se representa gráficamente una función de probabilidad conjunta se dice que será un cuadrado. ¿Cómo?

Gracias por cualquier ayuda...

Answer 1

En el momento en que escribo esto, la función de densidad de probabilidad alegada no es una pdf, ya que su integral no es $1$ .

Probablemente lo que se pretende es $\dfrac{1}{2\sqrt{3}}$ cuando $|s_1|\le \sqrt{3}$ .

Cambiaremos un poco la notación y supondremos que tenemos dos variables aleatorias independientes $X$ y $Y$ . Variable aleatoria $X$ tiene pdf $\dfrac{1}{2\sqrt{3}}$ cuando $|x|\le \sqrt{3}$ y $0$ cuando $|x|\gt \sqrt{3}$ . Variable aleatoria $Y$ tiene pdf $\dfrac{1}{2\sqrt{3}}$ cuando $|y|\le \sqrt{3}$ y $0$ cuando $|y|\gt \sqrt{3}$ .

Desde $X$ y $Y$ son independientes, su pdf conjunta es la producto del individuo pdf.

Así, el pdf conjunto $f(x,y)$ es igual a $\dfrac{1}{12}$ cuando ambos $|x|$ y $|y|$ son $\le \sqrt{3}$ y $0$ en otro sitio.

Por lo tanto, el pdf conjunto es la constante $\dfrac{1}{12}$ sobre y dentro del cuadrado con esquinas $(\sqrt{3},\sqrt{3})$ , $(-\sqrt{3},\sqrt{3})$ , $(-\sqrt{3},-\sqrt{3})$ y $(\sqrt{3},-\sqrt{3})$ .

Si decidimos ignorar las partes del mundo donde el pdf conjunto es $0$ tenemos una función de densidad constante en un cuadrado. Una función de densidad constante sobre un cuadrado no es lo mismo que un cuadrado, pero cuando graficamos $z=f(x,y)$ en el espacio, obtendremos una "mesa" cuadrada de altura constante $\dfrac{1}{12}$ .