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Calcular el área del creciente

Encontré este problema en un hilo en Stack Overflow donde fue publicado como "pregunta de entrevista de trabajo". Desafortunadamente no puedo encontrar la pregunta. Pero guardé la imagen y simplemente no puedo resolverlo.

El problema es calcular el área de la luna creciente.

introducir descripción de la imagen aquí

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En casi cualquier problema "de diagrama" sobre círculos, poner un punto y una etiqueta en el centro es útil. Tenemos una etiqueta para el centro del círculo grande. Póngala en el centro del círculo más pequeño.

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@user6312 No creo que el OP haya creado esta figura, ya que indican que fue copiada de otra discusión.

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¿Sabes qué es gracioso? Acabo de tener un candidato para una entrevista decirme que encontraron la respuesta aquí. Porque publiqué la pregunta en Programmers - ¡no me di cuenta de que había una respuesta proporcionada en línea! Bueno, la investigación es el nombre del juego para mis pruebas.

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Alex Bolotov Puntos 249

Suponiendo que AD es el diámetro del círculo más pequeño y C es el centro del círculo más grande.

Si $CD = x$, entonces $CE = 4+x$.

Observa que el ángulo DEA es un triángulo rectángulo.

Por la similitud de los triángulos EDC y ACE tenemos que

$\frac{x}{4+x} = \frac{4+x}{9+x}$

Resolviendo obtenemos $x = 16$. Por lo tanto, el radio del círculo más grande es $25$. El radio del círculo más pequeño es $\frac{x + 9+x}{2} = 20.5$

El área de la luna creciente = $\pi ((25)^2 - (20.5)^2) = 204.75 \times \pi$

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No entiendo cómo CE = 4 + x, ¿de dónde salió el 4?

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@shakram02: BC = CF. BC = 9 + x. CF = 5 + CE. Así que 5 + CE = 9 + x. Así que CE = 4 + x.

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¡Buena y astuta solución @Aryabhata! Solo hay una cosa que no me gustó: te saltaste la parte llegando a CE = 4 +x, tal vez para que tu solución se viera más corta. Sin embargo, este tipo de cosas crea confusión y es bastante inapropiado en la resolución de problemas matemáticos.

6voto

Eran Medan Puntos 193

Aquí te muestro cómo lo haría:

Llamo $R$ al radio del círculo grande y $r$ al del pequeño. Ahora, observa que la superficie de la luna creciente es simplemente la diferencia entre la superficie del círculo grande y la del pequeño, es decir,

$$\pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R-r)(R+r) \; .$$

Fíjate cómo he expresado esta superficie como un producto de dos cantidades que voy a determinar a partir de otros datos en el dibujo. Primero, la diferencia entre los radios dobles es claramente de 9 cm:

$$2R-2r=9$$

Ya hemos avanzado. Luego, la distancia entre el centro del círculo pequeño y el punto E es obviamente $r$, pero también puede expresarse con el teorema de Pitágoras como

$$r^2 = (R-5)^2+(r-R+9)^2 \; .$$

Reordenando y utilizando lo que ya sabemos sobre $R-r$:

$$r^2 - (R-5)^2= \left(\frac{9}{2}\right)^2 \; .$$

Nuevamente, utilizando el truco de factorización

$$(r - R+5)(r+R-5)= \left(\frac{9}{2}\right)^2 \; .$$

Por lo tanto,

$$r+R= 5+2\left(\frac{9}{2}\right)^2 \; .$$

Combinando todo, obtenemos que la superficie de la luna creciente es

$$\pi \frac{9}{2}\left(5+2\left(\frac{9}{2}\right)^2\right)$$

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MP24 Puntos 1390

Encontré la publicación original aquí: https://softwareengineering.stackexchange.com/questions/20927/what-is-your-favorite-whiteboard-interview-problem/28439#28439

y aquí está la solución en los comentarios:

los diámetros difieren en 9 cm, por lo que si el círculo interior tiene un radio r, el círculo exterior tiene un radio r + 4.5. El área de la luna es la diferencia en las áreas de los círculos: pi(r + 4.5)^2 - pi * r^2. Todo lo que queda es encontrar r. Defina C como el punto (0,0), entonces el punto E está en (0, r - 0.5) (porque CE es 5 cm menos que el radio más grande). El círculo interior se desplaza hacia la derecha 4.5 cm, por lo que su ecuación es (x - 4.5)^2 + y^2 = r^2. Sustituya (x,y) = (0, r - 0.5) y resuelva para r.

3voto

Brian Deacon Puntos 4185

Para cualquier cuerda que pase por un punto dentro de un círculo, el producto de las longitudes de los subsegmentos es un número que depende solo del punto, no de la cuerda. (Este número se denomina la "potencia" de ese punto, aunque el valor en sí no es relevante aquí). Es decir, si dos cuerdas contienen el mismo punto, entonces los productos de sus respectivos subsegmentos son iguales.

En tu diagrama, escribiendo $E^\prime$ para la reflexión del punto $E$ en el diámetro (presumido) $AD$, tenemos las cuerdas $AD$ y $EE^\prime$ que se cruzan en el punto $P$ dentro del círculo más pequeño. Por lo tanto,

$$CA \cdot CD = CE \cdot CE^\prime \;\;\;\; \left(\;= \text{potencia del punto}\;\; C\;\right)$$

Ahora, sea $R$ el radio del círculo grande. Entonces $CA = R$, $CD = R-9$ y $CE = CE^\prime = R-5$. Por lo tanto,

$$R(R-9)=(R-5)^2$$

por lo que $R = 25$. A partir de ahí, es fácil.

La noción de la Potencia de un Punto -- que también se relaciona no solo con cuerdas, sino con tangentes y secantes que se encuentran en un punto -- es útil de conocer.

2voto

Alotor Puntos 3438

Aquí está mi solución de geometría mínima a la fuerza bruta.

Deje que el círculo más pequeño tenga centro $(c,0)$ y radio $r$. Deje que $E$ tenga coordenadas $(0,e)$ y $D$ tenga coordenadas $(-d,0)$. Deje que $R$ sea el radio del círculo más grande.

Entonces tenemos cinco incógnitas y las cinco ecuaciones $$ \begin{eqnarray} c^2+e^2 &=& r^2 \\ c+d &=& r \\ R &=& e+5 \\ R &=& d+9 \\ R &=& c+r \end{eqnarray} $$ que pueden ser fácilmente resueltas. Se encuentra $c=4.5$, $d=16$, $e=20$, $r=20.5$, y $R=25$.

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