Aquí te muestro cómo lo haría:
Llamo $R$ al radio del círculo grande y $r$ al del pequeño. Ahora, observa que la superficie de la luna creciente es simplemente la diferencia entre la superficie del círculo grande y la del pequeño, es decir,
$$\pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R-r)(R+r) \; .$$
Fíjate cómo he expresado esta superficie como un producto de dos cantidades que voy a determinar a partir de otros datos en el dibujo. Primero, la diferencia entre los radios dobles es claramente de 9 cm:
$$2R-2r=9$$
Ya hemos avanzado. Luego, la distancia entre el centro del círculo pequeño y el punto E es obviamente $r$, pero también puede expresarse con el teorema de Pitágoras como
$$r^2 = (R-5)^2+(r-R+9)^2 \; .$$
Reordenando y utilizando lo que ya sabemos sobre $R-r$:
$$r^2 - (R-5)^2= \left(\frac{9}{2}\right)^2 \; .$$
Nuevamente, utilizando el truco de factorización
$$(r - R+5)(r+R-5)= \left(\frac{9}{2}\right)^2 \; .$$
Por lo tanto,
$$r+R= 5+2\left(\frac{9}{2}\right)^2 \; .$$
Combinando todo, obtenemos que la superficie de la luna creciente es
$$\pi \frac{9}{2}\left(5+2\left(\frac{9}{2}\right)^2\right)$$
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En casi cualquier problema "de diagrama" sobre círculos, poner un punto y una etiqueta en el centro es útil. Tenemos una etiqueta para el centro del círculo grande. Póngala en el centro del círculo más pequeño.
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@user6312 No creo que el OP haya creado esta figura, ya que indican que fue copiada de otra discusión.
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¿Sabes qué es gracioso? Acabo de tener un candidato para una entrevista decirme que encontraron la respuesta aquí. Porque publiqué la pregunta en Programmers - ¡no me di cuenta de que había una respuesta proporcionada en línea! Bueno, la investigación es el nombre del juego para mis pruebas.