¿Cómo crear un puente browniano multivariante?

Question

Se sabe que un puente browniano multivariante estándar $ y(\mathbf u) $ es un proceso gaussiano centrado con función de covarianza $$ \mathbb E(y(\mathbf u) y(\mathbf v)) = \prod_{j=1}^d (u_j \wedge v_j) - \prod_{j=1}^d u_j v_j $$

No estoy seguro de cómo construir un puente browniano multivariante.

Mi primer pensamiento fue empezar de alguna manera con un puente browniano univariante. He encontrado información al respecto e incluso un paquete en R que puede hacerlo, pero sólo para el puente browniano univariante.

He encontrado este pero, según tengo entendido, lo que se ha hecho allí no es un puente browniano multivariante estándar como el definido anteriormente o, por ejemplo, en este documento .

Agradecería cualquier consejo o ayuda.

Answer 1

Como ya han señalado en los comentarios, la cuestión se reduce a simular una hoja browniana. Esto se puede hacer generalizando la simulación del movimiento browniano de forma directa.

Para simular el movimiento browniano, se puede tomar una serie temporal i.i.d. media-0 varianza-1 $W_i$ , $i = 1, 2, \cdots$ y construir el proceso de suma parcial normalizada $$ X_n(t) = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i = 1}^{[nt]} W_i. $$ En $n \rightarrow \infty$ , $X_n$ convergencia débil (en el sentido de las medidas de probabilidad de Borel en un espacio métrico) a la Browniana estándar $B$ en el espacio de Skorohod $D[0,1]$ .

El caso i.i.d. con segundo momento finito es el más sencillo de simular. El resultado matemático (teorema del límite central funcional/teorema de Donsker/principio de invarianza) es válido con mucha mayor generalidad.

Ahora a simular la hoja browniana (digamos, bidimensional), toma i.i.d. media-0 varianza-1 matriz $W_{ij}$ , $i,j = 1, 2, \cdots$ y construir el proceso de suma parcial normalizada $$ X_n(t_1, t_2) = \frac{1}{ n } \sum_{1 \leq i \leq [nt_1] , 1 \leq j \leq [nt_2]} W_{ij}. $$ En $n \rightarrow \infty$ , $X_n$ convergencia débil a la hoja browniana estándar en el espacio de Skorohod $D([0,1]^2)$ en el cuadrado de la unidad.

(La prueba es un argumento estándar de convergencia débil:

1. La convergencia de la distribución de dimensión finita se deduce de la CLT de Levy-Lindeberg.

2. Tensión en $D([0,1]^2)$ se deduce de una condición de momento suficiente que se cumple trivialmente en el caso de segundo momento finito i.i.d. -véase, por ejemplo, Bickel y Wichura (1971). )

Entonces, por el teorema del mapeo continuo $$ X_n(t_1, t_2) - \prod_{j=1}^2 t_j X_n(t_1, t_2) $$ converge débilmente al puente browniano bidimensional.