Demostrar integral $\int_0^1\left|\ln(t)\right|^n \, dt = n!$

Question

Quiero demostrar que $$\int_0^1\left|\ln(t)\right|^n \, dt = n!$$

sin usar la inducción o la función gamma (me interesaría ver qué obtendrías usándolas, aunque mi ejercicio pide no usarlas).

Gracias.

Editar : He ya probado los siguientes que no funcionó para mí : sub, Chasles trucos, inducción (trabajado).

Answer 1

En su lugar, puede utilizar una función generadora. Tenemos

$$\int_0^1 \left( \sum_{n \ge 0} \frac{(-\ln t)^n z^n}{n!} \right) \, dt = \int_0^1 e^{-(\ln t) z} \, dt = \int_0^1 t^{-z} \, dt = \frac{1}{1 - z} = \sum_{n \ge 0} z^n.$$

(Hay que tener un poco de cuidado para asegurarnos de que aquí podemos intercambiar integrales y sumas). Exactamente el mismo truco evalúa la integral de la función gamma $n! = \int_0^{\infty} t^n e^{-t} \, dt$ (que se obtiene a partir de la anterior mediante $u$ -sustitución):

$$\int_0^{\infty} \left( \sum_{n \ge 0} \frac{t^n z^n}{n!} \right) e^{-t} \, dt = \int_0^{\infty} e^{t(z-1)} \, dt = \frac{1}{1 - z} = \sum_{n \ge 0} z^n.$$

Answer 2

Desde $0<t<1$ tienes $\ln t<0$ así que $\left|\ln t\right| = -\ln t >0.$ \begin{align} & {-u} = \ln t \\[6pt] & {-du} = \frac{-dt} t \\[6pt] & {-t} \,du = dt \\[4pt] & {-e^{-u}} \,du = dt \end{align} En $t$ va de $0$ a $1,$ $u$ va de $+\infty$ a $0.$ Así que \begin{align} & \int_0^1 \left| \ln t\right|^n \, dt = \int_{+\infty}^0 -u^n e^{-u} \, du \\[8pt] = {} & \int_0^{+\infty} u^n e^{-u} \, du = n!. \end{align}

El hecho de que esa última integral llegue a $n!$ es bien conocida. Cómo se deduce es una pregunta que probablemente ya se ha publicado aquí. Se hace integrando por partes.

Answer 3

Nota

$$\int_{0}^{1}\left|\ln^nt \right|dt = (-1)^n\frac{d^n}{da^n}\left(\int_{0}^{1} t^adt\right)\bigg|_{a=0} = (-1)^n \frac{d^n}{da^n}\left(\frac1{a+1}\right) \bigg|_{a=0} =n! $$

Answer 4

$$I_n=\int_0^1|\ln t|^ndt=(-1)^n\int_0^1\ln^n tdt$$ $u=\ln t,du=\frac1tdt\Rightarrow dt=tdu=e^udu$ Ahora vuelve a entrar: $$I_n=(-1)^n\int_{-\infty}^0u^ne^udu$$ ahora di $v=-u\Rightarrow du=-dv$ $$I_n=(-1)^n\int_\infty^0(-v)^ne^{-v}(-dv)=\int_0^\infty v^ne^{-v}dv=\Gamma(n+1)=n!$$ ahora esto está relacionado con el función gamma que es una continuación analítica de la función factorial . Si suponemos que $n$ es un número entero positivo entonces es mucho más fácil de ver.