Una integral compleja con funciones indicadoras

Question

Considera la siguiente integral: $$\int_a^bf(x)\text{ }\mathrm{d}\phi(x)$$ donde $\phi(x)$ se define como: $$\phi(x)=A\sum_{i=1}^n\mathbb{1}(x_i<x)$$

Donde el $x_i$ son una secuencia de números reales conocidos. ¿Cómo lo resolverías?

Answer 1

$\phi$ es una superposición de funciones Heavyside. Sus derivadas son las funciones delta de Dirac. Cuando se integran, estas funciones delta se traducen en la evaluación de la función integrando, por lo que la solución está relacionada con los valores de $f$ en sus puntos $x_i$ .

Como comentario al margen, no ha definido la secuencia $x_i$ asumo que son una lista conocida de números reales.